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第18页

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40°

$解：DE=2AF.证明如下:延长AD至点G，使GF= AF，连接CG,$

$因为F为BC的中点，所以BF=CF.$

$在△AFB和△GFC中，$

$\begin{cases}{AF=GF,\ }\\{∠AFB=∠GFC,}\\{BF=CF,\ }\end{cases}$

$所以△AFB≌△GFC(\mathrm {SAS}). 所以 AB=GC,∠BAF=∠CGF.$

$所以AB//CG.所以∠BAC+∠ACG=180°.$

$因为∠BAC+∠DAE=180°,所以∠ACG=∠DAE.$

$因为AB=AE，所以AE= CG.$

$在△DAE和△ACG中,\ $

$\begin{cases}{AE=CG,}\\{∠DAE=∠ACG,}\\{AD=CA,\ }\end{cases}$

$所以△DAE≌△ACG(\mathrm {SAS}).$

$所以DE=AG.$

$因为AG=AF+FG=2AF，所以DE=2AF.$

$证明：(1)因为BD⊥AC，所以∠BDC=∠FDC=90°.\ $

$所以∠DAB+∠ABD=90°.$

$因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形.$

$所以∠ABC=∠C.$

$所以∠DAB=∠ABC+∠C=2∠ABC.$

$所以∠ABC= ∠C = \frac{1}{2}∠DAB，$

$因为 BE 平分 ∠ABD,$

$所以∠ABE=∠DBE=\frac{1}{2}∠ABD.$

$所以∠CBE=∠ABC+∠ABE=\frac{1}{2}(∠DAB+∠ABD)=45°.$

$（更多请点击查看作业精灵详解）$

$解：(2)BH⊥EH,BH=EH.$

$证明如下:如图，延长BA 到点G，使AG=AE，连接EG.$

$因为AB=AC,$

$所以AB+AG=AC+AE.$

$所以BG=CE.$

$因为BF=CE，$

$所以BG=BF.$

$由(1)得∠C=\frac{1}{2}∠DAB,∠FDC=90°,∠CBE=45°,∠ABE=∠DBE，即∠GBE = ∠FBE.\ $

$在△EBG和△EBF 中，$

$\begin{cases}{BG=BF,}\\{∠GBE=∠FBE,}\\{BE=BE,}\end{cases}$

$所以△EBG≌ △EBF(\mathrm {SAS}).$

$所以∠G=∠F.$

$因为AE=AG,$

$所以△AEG是等腰三角形.$

$所以∠G=∠AEG,$

$所以∠DAB=∠G+∠AEG=2∠G.\ $

$所以∠G=\frac{1}{2}∠DAB.$

$所以∠G=∠C.$

$所以∠F=∠C.\ $

$因为∠HEC=∠DEF,$

$所以∠BHE=∠C+∠HEC=∠F+∠DEF=90°.$

$所以BH⊥EH，即∠BHE=90°.\ $

$所以∠HEB =90°-∠CBE=45°，$

$即∠HEB=∠CBE.$

$过点H作HO⊥BE于点O,$

$则∠BOH=∠EOH=90°.$

$在△BOH和△EOH 中,$

$\begin{cases}{∠HBO=∠HEO,}\\{∠BOH=∠EOH,}\\{HO=HO，}\end{cases}$

$所以△BOH≌△EOH(\mathrm {AAS}).$

$所以BH=EH.$