$证明：(1)过点C作CK⊥AN，垂足为K,则∠CKD= 90°.$ $因为 AC 平分∠MAN,CE⊥AM，所以CK=CE，∠CEB=90°.$ $所以∠CEB=∠CKD.$ $因为∠CBE+∠ADC=180°,∠CDK+∠ADC=180°，所以∠CBE=∠CDK.$ $在△BCE和△DCK中，$ $\begin{cases}{∠CBE=∠CDK,}\\{∠CEB=∠CKD,\ }\\{CE=CK,}\end{cases}$ $所以△BCE≌△DCK (\mathrm {AAS}).$ $所以BC=DC.$ $（更多请点击查看作业精灵详解）$
$解：(2)过点 C作CP⊥AD，垂足为P.$ $同(1)得 CP=CE,∠CPD=∠CEB=90°.$ $又 AC=AC,$ $所以 Rt△ACP≌Rt△ACE(\mathrm {HL}).$ $所以AP= AE.\ $ $因为∠ABC+∠ADC = 180°,$ $∠ABC+∠CBE=180°，$ $所以∠ADC=∠CBE,$ $即∠CDP=∠CBE.$ $同(1)得△BCE≌△DCP(\mathrm {AAS}).$ $所以 BE=DP.\ $ $所以 AD=AP+DP$ $=AE+BE$ $=AB+2BE.$ $则 AB、AD 与BE之间的数量关系为AD=AB+2BE.$
$解：(3)在 BD 上截取BH=BG，$ $连接OH，$ $因为 BF平分∠ABD,$ $所以∠OBG=∠OBH.\ $ $在△OBH和△OBG 中,$ $\begin{cases}{BH=BG，}\\{∠OBH=∠OBG,}\\{OB=OB，\ }\end{cases}$ $所以△OBH≌△OBG (\mathrm {SAS}).$ $所以 ∠OHB =∠OGB，$ $∠BOH=∠BOG.$ $又AO,BO分别平分∠MAN,∠ABD,$ $所以点O到AD,AB,BD的距离相等.$ $所以OD平分∠ADB，$ $即∠ODH=∠ODF.\ $ $因为∠OHB=∠ODH+∠DOH,$ $∠OGB=∠ODF+∠DAB，$ $所以∠DOH = ∠DAB.$ $又∠MAN=60°,$ $所以∠DAB=60°，$ $即∠DOH=60°\ $ $又∠GOH+∠DOH=180°,$ $所以∠GOH = 180°- ∠DOH = 120°,\ $ $又∠BOG+∠BOH=∠GOH,$ $所以∠BOG=∠BOH=60°.$ $所以∠DOF=∠BOG=60°，$ $即∠DOH = ∠DOF.$ $因为 OD = OD,\ $ $所以△ODH≌△ODF(\mathrm {ASA}).$ $所以 DH=DF.$ $所以 DB=DH+BH=DF+BG.$ $又 BG=1,DF=2，$ $所以DB=3.$
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