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第55页

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$证明：(2)由(1)得Rt△DEC≌Rt△ABC,DF⊥AB，\ 且BC=a，AC=b，AB=c，$

$所以EC=BC=a，DC=AC=b，DE=AB=C,\ $

$因为S_{△BCE}+S_{△ACD}=S_{△ABD}-S_{△ABE}，$

$所以\frac{1}{2}a²+\frac{1}{2}b²=\frac{1}{2}c·DF-\frac{1}{2}c·EF=\frac{1}{2}c·(DF-EF)=\frac{1}{2}c·DE=\frac{1}{2}c².$

$所以a²+b²=c².$

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$证明：(1)因为AC⊥BD，$

$所以∠ACB=∠ACD= ∠DCE=90°，$

$即∠CAD+∠ADC=90°.$

$因为∠CAD=45°,$

$所以∠ADC=90°-∠CAD= 45°，$

$即∠CAD=∠ADC.\ $

$所以 AC=DC.\ $

$又AB=DE，$

$所以Rt△ABC≌Rt△DEC(\mathrm {HL}).$

$所以∠BAC=∠EDC.\ $

$因为∠EDC+∠CED=90°,$

$∠CED=∠AEF,$

$所以∠AEF+∠BAC=90°，$

$即∠AFE=90°.$

$所以DF⊥AB.$