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B
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$\frac{5}{4} $

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$解：(1)由题意得CD=2t，$
$AC²=AB²+BC²=25²，$
$所以AC=25.$
$则AD=25-2t.$
$当t=2时，CD=4,AD=21.$
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$解：(2)能.$
$因为∠C＜90°,$
$所以当△CBD为直角三角形时，$
$有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况.$
$若∠CDB=90°，$
$则 S_{△ABC}=\frac{1}{2}BD·AC=\frac{1}{2}AB·BC.\ $
$由(1)得 CD=2t,AC=25，$
$且AB=20,BC=15,$
$所以BD=\frac{AB·BC}{AC}=12.$
$在Rt△BCD 中,由勾股定理得，\ $
$CD²+BD²=BC²,$
$所以(2t)²+12²=15²，$
$解得t=4.5(负值已舍去);$
$若∠CBD=90°，$
$则A,D两点重合.$
$所以2t=25，$
$解得t=12.5.$
$综上，t的值为4.5或12.5.$
$解：(3)由(1)得CD=2t,$
$因为△CBD是等腰三角形，$
$所以有BC=BD或BC=CD或BD=CD三种情况.$
$过点B作BE⊥AC于点E.$
$由(2)得BE=12.$
$在Rt△BCE中，由勾股定理得，$
$CE²=BC²-BE²=9²,$
$所以CE=9.$
$当 BC=BD时，CD=2CE，$
$所以2t=2×9，$
$解得t=9;$
$当BC=CD时，2t=15，$
$解得t=7.5;$
$当 BD=CD时，BD=2t,DE=2t-9.$
$在Rt△BDE中,由勾股定理得，$
$BE²+DE²=BD²，$
$所以12²+(2t-9)²=(2t)²,$
$解得t=6.25.$
$综上，当t的值为9或7.5或6.25时，△CBD是等腰三角形.$
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