(5,0),(8,0),(0,5),(0,6),(-5,0),(0,-5),
$解：(1)由题意，得-3+2a-1=0，解得a=2.$ $则点 A 的坐标为(-3,3).所以点A 关于y轴的对称点A'的坐标为(3,3).$ $(2)因为线段AB//x轴，所以2a-1=a-3，解得a=-2,$ $则点 A 的坐标为(-3,-5)，点 B 的坐标为(2，-5).$ $所以线段AB的长为5.$ $(3)由题意，得|a-3|=2|a|，所以a-3=2a或a-3=-2a，解得a=-3或a=1.$ $则点 B的坐标为(3，-6)或(-1，-2).$
$解：(1)在y=2x+2中，$ $令x=0，得y=2;$ $令y= 0,得2x+2=0，解得x=-1，$ $所以点A的坐标为(0,2)，$ $点B的坐标为(-1,0)，$ $所以OA=2,OB=1.$ $如图，过点 C作CQ⊥x 轴于点Q，$ $则∠BQC=∠AOB=90°.$ $因为△ABC为等腰直角三角形，$ $B 为直角顶点，$ $所以 BC=AB，∠ABC=90°.$ $所以∠OBA+∠QBC=180°-∠ABC=90°.$ $因为∠OBA+∠OAB=90°,$ $所以∠QBC=∠OAB.$ $在△BCQ 和△ABO 中,$ $\begin{cases}{∠BQC=∠AOB,\ }\\{∠QBC=∠OAB，}\\{BC=AB，}\end{cases}$ $所以△BCQ≌△ABO(\mathrm {AAS}).$ $所以QB=OA=2,QC=OB=1.$ $所以 QQ=OB+QB=3.$ $所以点 C 的坐标为(-3,1).$ $设直线AC对应的函数表达式为y=kx+b.$ $把A(0,2),C(-3,1)分别代入y=kx+b 中，$ $得\begin{cases}{b=2，}\\{-3k+b=1，}\end{cases}$ $解得\begin{cases}{k=\frac 13，}\\{b=2.}\end{cases}$ $所以直线AC对应的函数表达式为y=\frac{1}{3}x+2. $
$解：(2)由(1)得QB=2,OB=1.$ $如图，过点D分别作DF⊥x轴于点F,DG⊥y轴于点G，$ $则GD=OF,∠BFD=∠BQC=90°,∠DGE=∠BOE=90°，$ $因为∠ABC=90°,$ $所以 AB⊥CD.$ $因为AC=AD，$ $所以BD=BC.$ $在△BDF和△BCQ中，$ $\begin{cases}{∠BFD=∠BQC,}\\{∠DBF=∠CBQ，}\\{BD=BC，}\end{cases}$ $所以△BDF≌ △BCQ(\mathrm {AAS}).$ $所以FB=QB=2.$ $所以OF=FB-OB=1.$ $所以OF=OB.$ $所以 OB=GD.\ $ $在△BOE和△DGE中，$ $\begin{cases}{∠BEO=∠DEG,\ }\\{∠BOE=∠DGE,}\\{OB=GD,\ }\end{cases}$ $所以△BOE≌△DGE(\mathrm {AAS}).$ $所以BE=DE.$
$解：(3)设直线BC对应的函数表达式为y=mx+n.$ $由(1)得点B 的坐标为(-1，0)，$ $点C的坐标为(-3,1)，$ $直线AC 的函数表达式为y=\frac{1}{3}x+2,OB = 1.\ $ $所以\begin{cases}{-m+n=0，}\\{-3m+n=1，}\end{cases}$ $解得\begin{cases}{m=-\frac 12，}\\{n=-\frac 12 .}\end{cases}$ $所以直线BC对应的函数表达式为y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}.$ $又因为点P 在直线BC上，$ $所以把P(-\frac{5}{2},t)代入y=-\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}中，$ $得 t=-\frac{1}{2}×(-\frac{5}{2})-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}，$ $即点 P 的坐标为(-\frac{5}{2}，\frac{3}{4}).$ $在 y=\frac{1}{3} x+2 中，$ $令 y=0，得\frac{1}{3}x+2=0，$ $解得x=-6.$ $所以点M的坐标为(-6,0).$ $所以OM=6.$ $所以BM=OM-OB=5.$ $过点C作CH⊥BM于点H，$ $则CH=1.$ $所以S_{△BCM}=\frac{1}{2}BM·CH=\frac{5}{2}.$ $过点P作PK⊥BM 于点 K,$ $则 PK =\frac{3}{4}.\ $ $设 BN =a，$ $则S_{△BPN}=\frac{1}{2}BN·PK=\frac{3}{8}a.$ $因为直线PN平分△BCM 的面积，$ $所以 S_{△BPN} =\frac{1}{2}S_{△BCM}，$ $即 \frac{3}{8}a=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}，$ $解得a=\frac{10}{3}.$ $所以BN=\frac{10}{3}.$ $所以ON=BN+OB=\frac{13}{3},$ $所以点 N 的坐标为(-\frac{13}{3},0) . $
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