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第17页

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$解：(1)由折叠的性质，得∠CNM=∠ONM, ∠CMN=∠OMN.$

$又∠CNB=50°,∠CMA=20°, ∠CNB + ∠CNM + ∠ONM = 180°,∠CMA + ∠CMN +∠OMN = 180°,$

$所以∠ONM=65°,∠OMN=80°.\ $

$又∠ONM+∠OMN+∠AOB=180°，$

$所以∠AOB=35°.$

$解：(2)过点N 作ND⊥OA 于点D，$

$则∠ODN= ∠MDN=90°.$

$所以∠OND+∠AOB=90°.$

$因为∠AOB=45°，$

$所以∠OND=45°,$

$即∠OND=∠AOB.\ $

$所以 OD =ND.\ $

$在 Rt△OND 中,ON= \sqrt{2},$

$由勾股定理得ON²=OD²+ND²,$

$所以2ND²=2，$

$即 ND=1(负值已舍去).$

$由折叠的性质得∠CMN=∠OMN.$

$因为MN=ME,$

$所以∠MNE=∠MEN.$

$因为∠MNE=∠AOB+∠OMN,$

$所以∠MEN=∠AOB+∠OMN.$

$因为 ∠MEN+∠MNE+∠CMN=180°，$

$所以45°+∠OMN+45°+∠OMN+∠OMN=180°,$

$即∠OMN=30°.$

$所以MN=2ND=2.$

$解：(3)因为MC⊥OB，0M=5,ME=3，$

$所以由勾股定理，得$

$OE= \sqrt{OM²-ME²}=4.$

$连接MN，CN.$

$由折叠的性质，得 MC=OM=5,CN=ON,$

$当点 N 在线段OE 上时，$

$如图①.$

$此时CE=CM-EM=2.$

$在Rt△CEN中，由勾股定理，得\ $

$CE²+EN² =CN²,$

$所以 2²+(4-ON)²=ON²,$

$解得ON=\frac{5}{2};$

$当点N在射线EB上时，$

$如图②.$

$同理，MC=OM=5， $

$此时CE=EM+MC=8.$

$在Rt△CEN中，由勾股定理，得$

$CE²+EN²=CN²,$

$所以 8²+(ON-4)²=ON²,$

$解得ON=10.$

$综上，ON的长为\frac{5}{2}或10.$