$解：(1)△AED是等腰直角三角形.$ $理由如下:$ $因为 AB=EC,∠B=∠C=90°,BE=CD,$ $所以△ABE≌△ECD(\mathrm {SAS}).\ $ $所以 AE=ED,∠BAE=∠CED.$ $又因为∠BAE+∠AEB=90°,$ $所以∠CED+∠AEB=90°.$ $又因为∠AED+∠AEB+∠CED=180°,$ $所以∠AED=90°,$ $所以△AED是等腰直角三角形.$
$解：(2)因为△ABC是等腰直角三角形，$ $所以有 AB=CA,∠BAC=90°$ $或AB=BC,∠ABC=90°$ $或CA=BC,∠ACB=90°三种情况.$ $如图①,当AB=CA,∠BAC=90°时，$ $过点C作CG⊥x轴于点G，$ $过点B作BH⊥x轴于点H，$ $则∠CGA = ∠AHB = 90°.\ $ $所以 ∠ACG +∠CAG=90°.$ $又∠CAG+∠BAC+∠BAH=180°，$ $所以∠CAG+∠BAH=90°，$ $即∠ACG=∠BAH.$ $所以△ACG≌△BAH(\mathrm {AAS}).$ $所以CG=AH,AG=BH.$ $又因为点A 的坐标为(2,0)，$ $点B的坐标为(5,1)，$ $所以OA=2,OH=5,BH=1,$ $即AG=1,AH=OH-OA=3.$ $所以CG=3,OG=OA-AG=1.$ $所以点C的坐标为(1,3);$ $如图②，当AB=BC，∠ABC=90°时，$ $过点B作BQ⊥x轴于点Q，$ $过点C作CP⊥BQ，交QB的延长线于点P，$ $则∠AQB=∠BPC=90°.$ $同理，得△ABQ≌△BCP,OA=2,OQ=5,BQ=1.$ $所以CP=BQ=1,BP=AQ=QQ-OA=3.$ $所以PQ=BQ+BP=4,$ $即点C的坐标为(4,4);$ $如图③，当CA=BC,∠ACB=90°时，$ $过点C作直线MN//x轴，过点A作AM⊥MN于点M，$ $过点 B 作 BN⊥MN 于点 N,$ $则∠AMC =∠CNB=90°.$ $同理，得△AMC≌△CNB.$ $所以 AM=CN,CM=BN.$ $又MN=CM+CN=5-2=3,AM-BN=1，$ $所以 CN-CM=1，$ $即AM=CN=2,CM=1.$ $所以点C的坐标为(3,2).$ $综上，点C的坐标为(1,3)或(4,4)或(3,2).$
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