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$解：(1)没有被该“皇后 Q”所控制的四个位置分别为$
$(1，1)，(3，1)，(4，2)，(4，4).$
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$解：(1)如图①，$
$作点P关于OB 的对称点P',$
$点P关于OA的对称点P''，$
$连接P'P''交OB于点R,交OA于点Q,$
$连接OP',OP''.$
$所以OP=OP',OP=OP'',RP=RP',QP=QP'',$
$即 OP'=OP''.$
$所以△PQR 的周长为RP+RQ+QP=RP'+RQ+QP''=P'P''.$
$此时△PQR 的周长最小，$
$且最小值为 P'P''的长.$
$因为OB 垂直平分PP',OA 垂直平分PP"，$
$所以∠1=∠2,∠3=∠4.$
$所以∠P'OP''=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠2+2∠3=2∠AOB=60°.$
$所以△P'OP''为等边三角形.$
$所以 P'P"=OP'=OP=10,$
$即△PQR周长的最小值为10.$

$解：(2)如图②，$
$作点M关于OB的对称点M',$
$点N 关于OA的对称点 N',$
$连接M'N'交OB 于点P，$
$交OA于点Q，连接ON',OM'.$
$所以 OM'=OM=2,ON'=ON=2,MP=M' P,QN=QN',$
$即OM'=ON'=2.\ $
$所以 MP+PQ+QN=M'P+PQ+QN'=M'N'.$
$此时MP+PQ+QN的值最小，$
$且最小值为M'N的长.$
$因为OB垂直平分MM'，OA垂直平分NN',$
$所以∠M'OB=∠AOB=20°,$
$∠N'OA=∠AOB=20°.$
$所以∠M'ON'=60°.$
$所以△M'ON'为等边三角形.$
$所以M'N'=OM'=2，$
$即MP+PQ+QN 的最小值为2.$
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