$解:过E作EF⊥AB于F$ $由题得,BF=DE=1 米,BC=1 米,BD=EF=5 米,AC=AE$ $设AF=x 米$ $则有 AB^{2}+BC^{2}=AC^{2},即(x+1)^{2}+1^{2}=AC^{2}$ $AF^{2}+EF^{2}=AE^{2},即x^{2}+5^{2}=AE^{2}$ $∴(x+1)^{2}+1^{2}=x^{2}+5^{2}$ $解得x=11.5$ $11.5+1=12.5(米)$ $答:旗杆高度12.5米.$ $解:(1)由题,130+20+100+50+90+20=410(m)$ $答:改造前管道长度410m.$ $(2)如图,标记C,E位置,延长CB交AE于D,则BD⊥AE$ $易求,BD=50+20-20=50 m,AD=130-(100-90)=120 m$ $∴AB=\sqrt {AD^{2}+DB^{2}}=130 m$ $∴410-130=280(m)$ $答：改造后AB之间的距离减少了280m.$ $(2)证明:易求,AB=\sqrt {AD^{2}+BD^{2}}=20$ $CD=\sqrt {AC^{2}-AD^{2}}=9$ $∴BC=BD+CD=25$ $∵AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$ $∴∠BAC=90°$
$解:设BE=AE=x$ $则ED=16-x$ $有 ED^{2}+AD^{2}=AE^{2}$ $解得x=12.5$ $∴DE=16-x=3.5$
$解:如图,PD垂直平分AB,连接PB$ $易求AC=\sqrt {AB^{2}=BC^{2}}=8 cm$ $可设AP=PB=t cm$ $则PC=(8-t) cm$ $有PC^{2}+BC^{2}=PB^{2}$ $解得t=\frac {25}{4}$
$解:如图,过P作PE⊥AB于E$ $∵AP平分∠CAE$ $∴∠CAP=∠EAP$ $在△CAP和△EAP中$ ${{\begin{cases} {{∠C=∠AEP}} \\ {∠CAP=∠EAP} \\ {AP=AP} \end{cases}}}$ $∴△CAP≌△EAP(AAS)$ $∴AC=AE=8 cm$ $CP=EP=(t-8) cm$ $BP=(14-t) cm$ $BE=AB-AE=2 cm$ $∴BE^{2}+PE^{2}=BP^{2}$ $解得t=\frac {32}{3}$
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