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等边三角形
D
18°
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$解：(2)连接BC$
$∵AB 是⊙O的直径$
$∴∠AOB=180°$
$∴∠ACB=\frac{1}{2}∠AOB=90°$
$∵∠BAC=25°$
$∴∠B=90°-∠BAC=65°$
$由折叠的性质，得\widehat{ AD}+\widehat{CD}=\widehat{AC}$
$∴∠DCA+∠BAC=∠B$
$∴∠DCA=∠B-∠BAC=40°$

$解：(2)​PC=PA+PB，​证明如下：$
$在​PC​上截取​ PD=PA，​连接​DA​$

$∵​∠APC=60°$
$​∴​△APD​为等边三角形$
$∴​DA=PA=PD，​​∠ADP=60°​$
$∴​∠ADC=180°-∠ADP=120°​$
$∵​∠APB=∠APC+∠CPB=120°​$
$∴​∠APB=∠ADC​$
$在​△APB ​和​△ADC​中$
$​\begin{cases}{∠ABP=∠ACD}\\{∠APB=∠ADC}\\{PA=DA}\end{cases}​$
$∴​△APB≌△ADC​$
$∴​PB=DC​$
$∴​PC=PD+DC=PA+PB$
$解：​(3)​∵​△ABC​是​⊙O​的内接等边三角形$
$∴​△ABC​的面积为定值$
$∵​S_{四边形APBC}=S_{△ABP}+S_{△ABC}​$
$∴当四边形​APBC ​的面积最大时，$
$​△ABP ​的面积最大$
$由题图可知，当​ P ​为劣弧​AB​的中点时，$
$点​P ​到直线​AB​的距离最大，$
$即​△ABP ​的面积最大$
$∵​C​为优弧​AB ​的中点$
$∴​PC​为​⊙O​的直径且​PC⊥AB​$
$设​PC​交​AB​于点​E，​连接​OA，​​OB​$
$则​AE=\frac {1}{2}AB，​​∠OEA=90°​$
$∵⊙O的半径为​1$
$∴​OA=1，​​PC=2​$
$∵​∠ACB=60°$
$​∴​∠AOB=2∠ACB= 120°​$
$∴​∠OAB = ∠OBA =\frac {1}{2}(180°-∠AOB)=30°​$
$∴​OE=\frac {1}{2}OA=\frac {1}{2}​$
$∴​AE= \sqrt {OA²-OE²} =\frac {\sqrt {3}}{2}​$
$∴​AB= 2AE= \sqrt {3}​$
$∴​S_{四边形APBC}=\frac {1}{2}AB · PC= \sqrt {3} ​$
$故当​P ​为劣弧​AB​的中点时，四边形​APBC$
$​的面积最大，最大面积为​ \sqrt {3}​$
$解：(1)过点O作OE⊥AC于点E$

$则∠OEA= 90°，AE=\frac{1}{2}AC$
$∵AC=2$
$∴AE=1$
$设⊙O的半径为r，则OA=r$
$∵翻折后点D与圆心O 重合$
$∴OE=\frac{1}{2}\ \mathrm {r}$
$∴AE=\sqrt{OA²-OE²} =\frac{\sqrt{3}}{2}r$
$∴\frac{\sqrt{3}}{2}\ \mathrm {r}=1$
$解得 r= \frac{2\sqrt{3}}{3}$
$∴⊙O的半径为\frac{2\sqrt{3}}{3}$
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