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D
B

$8-4 \sqrt{2} $
$2 \sqrt{2} $
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$解：(2)连接OA，OF$
$∵四边形ABCD是正方 形，∴∠ADB=45°$
$∵BE是⊙O的直径，∴∠EFB=90°$
$∴∠AEF=90°-∠ADB=45°$
$∴∠AOF=2∠AEF=90°\ $
$∵⊙O的半径为1，∴OA=OF=1$
$∴AF=\sqrt{OA²+OF²}= \sqrt{2}$

$解：连接OC，交BF 于点H$

$∵直线ED切⊙O 于点 C$
$∴OC⊥ ED$
$∴∠OCD =∠OCE=90°$
$∵OA=OC$
$∴∠OAC=∠OCA$
$∵AC平分∠BAD$
$∴∠OAC=∠DAC$
$∴∠OCA=∠DAC$
$∴OC//AD$
$∴∠D=∠OCE=90°$
$∵AB是⊙O的直径$
$∴∠AFB=90°$
$∴∠HFD=180°-∠AFB=90°$
$∴四边形HFDC是矩形$
$∴HF=CD=4，∠CHF=90°$
$∴OC⊥BF$
$∴BF=2HF=8$
$∵AF=2$
$∴AB=\sqrt{AF²+BF²}=2 \sqrt{17}$
$∴OA=\frac{1}{2}AB= \sqrt{17}$
$∴⊙O的半径为 \sqrt{17}$
$证明：(1)连接BE$

$∵四边形ABCD是正方形$
$∴∠BAD=90°$
$∴∠BAE=180°-∠BAD=90°$
$∴BE是⊙O的直径，∠FAB+∠FAE=90°$
$∵∠FBG=∠FAB，∠FBE=∠FAE$
$∴∠FBG+∠FBE=90°$
$∴∠OBG=90°$
$∴OB⊥BG$
$∵OB是⊙O的半径$
$∴直线BG 与⊙O相切$
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