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$\frac{9}{4}\ $
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$解：连接BE，DF，EF，过点P 作PH⊥AB$
$于点H，则∠BHP=∠AHP=90°$

$∵四边形ABCD是边长为3 \sqrt{2}的正方形$
$∴AB=3 \sqrt{2}，∠ABP=∠ADP=45°$
$∴∠BPH=90°-∠ABP=45°$
$∴∠ABP=∠BPH$
$∴BH=PH$
$设BH=PH=x$
$则BP= \sqrt{BH²+PH²}=\sqrt{2}x$
$又BP=2$
$∴\sqrt{2}x=2$
$解得x= \sqrt{2}$
$∴BH=PH= \sqrt{2}$
$∴AH=AB-BH=2 \sqrt{2}$
$∴AP= \sqrt{AH²+PH²}= \sqrt{10}$
$∵E，F 分别是△APB 和△APD 的外心$
$∴∠AEP=2∠ABP=90°，$
$∠AFP=2∠ADP=90°，$
$EA=EP，FA=FP$
$∴∠EAP=∠EPA=\frac{1}{2}(180°-∠AEP)=45°，$
$∠FAP=∠FPA=\frac{1}{2}(180°-∠AFP)=45°$
$∴∠EAF=∠EAP+∠FAP=90°$
$∴四边形AEPF 是正方形$
$∴EF⊥AP，EF=AP= \sqrt{10}$
$∴S_{正方形AEPF}=\frac{1}{2}EF\ \cdot\ AP=5$
$∴四边形AEPF 的面积为5$
$解：如图，连接OA，OM，ON$

$∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N$
$∴AM=AN，OM⊥AB，ON⊥AC$
$∴∠OMA=∠ONA=90°$
$∵∠BAC=120°$
$∴∠MON=360°-∠BAC-∠OMA-∠ONA=60°$
$设半圆的半径为r$
$∵\widehat{MN}的长为π$
$∴\frac{60πr}{180}=π$
$解得r=3$
$∴OM=ON=3$
$在Rt△OAM和 Rt△OAN 中$
$\begin{cases}OA=OA\\OM=ON\end{cases}$
$∴Rt△OAM≌Rt△OAN$
$∴∠AOM=∠AON=\frac{1}{2}∠MON=30°$
$∴AM=AN=\frac{1}{2}OA$
$设AM=AN=x$
$则OA=2x$
$∴OM= \sqrt{OA²-AM²}= \sqrt{3}x$
$∴\sqrt{3}x=3$
$解得x= \sqrt{3}$
$∴AM=AN= \sqrt{3}$
$∵AB+AC=16$
$∴BM+CN=AB+AC-AM- AN=16-2 \sqrt{3}$
$∴S_{△OBM}+S_{△OCN}=\frac{1}{2}BM\ \cdot\ OM+\frac{1}{2}\ \mathrm {CN}\ \cdot\ ON$
$=\frac{1}{2}(BM+CN)\ \cdot\ OM$
$=24-3 \sqrt{3}$
$∵∠MOE+∠NOF = 180°-∠MON = 120°$
$∴S_{ 扇形OEM }+ S _{扇形OFN} =\frac{120π×3^2}{360}=3π$
$∴S_{涂色}=S_{△OBM}+S_{△OCN}-(S_{扇形OEM}+S_{扇形OFN})$
$=24-3 \sqrt{3}-3π$
$∴涂色部分的面积为24-3 \sqrt{3}-3π$
$解：(1)如图，连接 OB$

$∵OD⊥BC，BC= 4 \sqrt{3}$
$∴∠OEB=90°，BE=\frac{1}{2}BC=2 \sqrt{3}$
$设⊙O的半径为R$
$则OB=OD=R$
$∵DE=2$
$∴OE=OD-DE=R-2$
$∵BE²+OE²=OB²$
$∴(2 \sqrt{3})²+(R-2)²=R²$
$解得 R=4$
$∴⊙O的半径为4$
$解：(2)连接OB，BD，过点O作OF⊥BD$
$于点F，延长FO与⊙O交于点A$

$则此时涂色部分的面积最大$
$∵OA=OB=OD=4，DE=2$
$∴OE=OD-DE=2$
$∴OE=\frac{1}{2}OB$
$∵∠OEB=90°$
$∴∠OBE=30°$
$∴∠BOE=90°-∠OBE=60°$
$∴△OBD为等边三角形$
$∴BD=OB=4$
$∴BF=DF=\frac{1}{2}BD=2$
$∴S_{△OAB}=\frac{1}{2}OA\ \cdot\ BF=4，$
$S_{△OAD}=\frac{1}{2}OA\ \cdot\ DF=4$
$∵S_{扇形OBD}=\frac{60π×4^2}{360}=\frac{8π}{3}$
$∴S _{涂色}=S_{扇形OBD}+S_{△OAB}+S_{△OAD}$
$=\frac{8π}{3}+8$
$∴涂色部分面积的最大值为\frac{8π}{3}+8$
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