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证明：∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∵AD是高
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠EAD=∠CAD
∵E是AB的中点
∴AE=DE，则∠EAD=∠EDA
∴∠CAD=∠EDA
∴DE∥AC

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证明:∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC
∵AD是∠BAC的角平分线
∴BD=DC 
同理可得，AF=BF，AE=EC
∴FD是△ABC的中位线
∴FD= $\frac{1}{2}$AC
同理可得，ED= $\frac{1}{2}$AB，EF= $\frac{1}{2}$BC
∵AB=BC=AC
∴ED=EF=FD
∴△DEF是等边三角形

证明：∵EH//BC
∴∠BCE=∠GEC，∠GHC=∠DCH
∵CE、CF分别平分∠ACB、∠ACD
∴∠GCE=∠BCE，∠GCH=∠DCH
∴∠GEC=∠GCE，∠GCH=∠GHC
∴EG=GC=GH
∴GE=GH
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