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证明：对图中的点进行标注。

∵∠D=∠E=90°，AD=CE=1，CD=BE=2
∴在△ADC和△CEB中，
$\begin{cases}{AD=CE} \\ {∠D=∠E} \\{CD=BE}\end{cases}$
∴△ADC≌△CEB(SAS)
∴AC=CB，∠ACD=∠CBE
∵∠CBE+∠BCE=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°
∴∠ACB=180°-90°=90°
∴△ABC是等腰直角三角形
证明：∵△ABC与△ADE都是等边三角形
∴∠BAC=∠DAE=60°
∵AD是等边△ABC的中线
∴AD也是∠BAC的角平分线，
∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°
∵AD=AE，∠DAE=60°
∴∠FAE=60°-30°=30°=∠DAC
∴AC⊥DE，DF=EF.
证明：∵在△ABC中，BE是高，D是BC的中点
∴∠BEC=90°，BD=CD
∴DE= $\frac{1}{2}$BC
同理，可得DF= $\frac{1}{2}$BC
∴DE=DF
又∵G是EF的中点
∴DG⊥EF.
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