零五网 › 全部参考答案› 实验班提优训练答案 › 江苏版实验班提优训练数学八年级上下册答案 › 第22页

第22页

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$证明:(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，\ $

$∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,\ $

$∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,\ $

$∴∠ACE=∠BCD.\ $

$在△ACE和△BCD中，$

$\begin{cases}{AC=BC，\ \ }\\{∠ACE=∠BCD,\ }\\{CE=CD，\ }\end{cases}$

$∴△ACE≌△BCD(\mathrm {SAS}).$

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$证明:由折叠的性质，可知BD=ED,∠EDC=∠BDC=60°$

$ ∵CD是边AB的中线，$

$∴BD=AD,$

$∴AD=ED.$

$ 又∠ADE=180°-∠EDC-∠CDB=60°,$

$ ∴△ADE是等边三角形$

$证明:∵△ABC是等边三角形，$

$ ∴∠B=∠ACB=60°.$

$ ∵DE//AB,$

$∴∠EDC=∠B=60°.$

$ ∵EF⊥DE,$

$∴∠DEF=90°,$

$ ∴∠F=90°-∠EDC=30°.$

$ ∵∠ACB=∠F+∠CEF=60°,$

$ ∴∠CEF=∠F=30°,$

$∴CE=CF，$

$ ∴△CEF是等腰三角形$

$证明:(2)∵△ACB是等腰直角三角形，$

$ ∴∠B=∠BAC=45°.$

$∵△ACE≌△BCD,$

$ ∴∠B=∠CAE=45°,$

$∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°,$

$∴AD²+AE²=DE².$

$ 由(1)，知AE=DB，$

$∴AD²+DB²=DE².$

$ ∵△ECD是等腰直角三角形，$

$ ∴CD=CE,CD²+CE²=DE²,$

$ ∴2CD²=AD²+DB².$