$ 证明:(1)连接BE$ $ 因为四边形ABCD是正方形$ $ 所以∠BAD=∠BAE=90°$ $ 所以BE是圆O的直径$ $ 因为∠FAB+∠EAF=90°,∠EAF=∠EBF,∠FBG=∠FAB$ $ 所以∠FBG+∠EBF=90°$ $ 所以∠OBG=90°$ $ 即OB⊥BG$ $ 因为BE是圆O的直径$ $ 所以BG与圆O相切.$ $ $ $ 证明：(1)连接OC$ $ 因为AB是圆O的直径，所以∠ACB=90°$ $ 所以∠A+∠ABC=90°$ $ 因为OC=OB，所以∠ABC=∠OCB$ $ 因为CD是圆O的切线$ $ 所以CD⊥OC$ $ 所以∠OCB+∠BCD=90°$ $ 所以∠BCD=∠A.$ $证明：(1)因为∠E是△ABC中∠A的遥望角$ $所以∠EBC=\frac {1}{2}∠ABC，$ $∠ECD=\frac {1}{2}∠ACD$ $所以∠E=∠ECD-∠EBD$ $=\frac {1}{2}(∠ACD-∠ABC)$ $=\frac {1}{2}∠A$ $因为∠A=α$ $所以∠E=\frac {1}{2}α$
$(2)连接OA,OF\ $ $因为四边形ABCD是正方形,$ $BE是圆O的直径$ $\ 所以∠EFD=90°,∠FDE=45°$ $\ 所以∠FED=45°$ $\ 所以∠AOF=90°\ $ $所以AF=\sqrt{AO²+OF²}=\sqrt{2}. $
$(2)由折叠的性质可得：$ $∠CDE=∠ADE$ $因为∠BCD=∠A$ $所以∠A+∠ADE=∠BCD+∠CDE$ $所以∠CEF=∠CFE$ $所以CF=CE=1$ $因为∠ACB=90°$ $所以EF=\sqrt{2}CE=\sqrt{2}$
$(2)如图2，延长BC到点T，$ $∵四边形FBCD内接于⊙O，$ $∴∠FDC+∠FBC=180°， $ $∵∠FDE+∠FDC=180°，$ $∴∠FDE=∠FBC，$ $∵DF平分∠ADE，$ $∴∠ADF=∠FDE，$ $∵∠ADF=∠ABF，$ $∴∠ABF=∠FBC，$ $∴BE是∠ABC的平分线，∵\widehat{AD}=\widehat{BD}$ $∴∠ACD=∠BFD， $ $∵∠BFD+∠BCD=180°，$ $∠DCT+∠BCD=180°，$ $∴∠DCT=∠BFD，$ $∴∠ACD=∠DCT，$ $∴CE是△ABC的外角平分线，$ $∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角． $
|
|
