第49页 - 创新优化学案九年级数学江苏版 - 05网零5网 0五网新知语文网

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$ 证明：(1)∵OD⊥AC，$

$∴\widehat{AD}=\widehat{CD}$

$∴∠ABD=∠CBD，$

$即BD平分∠ABC.$

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$ 证明：(1)连接BC，$

$因为AC=CE，所以∠CAE=∠CEA$

$因为AB是圆O的直径，所以∠ACB=90°$

$所以∠CAE+∠CBA=90°$

$因为AF与圆O相切于点A，所以∠BAF=90°，$

$所以∠AEC+∠F=90°，所以∠F=∠CBA$

$因为∠CBA=∠CDA$

$所以∠CDA=∠F，所以AF=AD$

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$解：如图所示，连接OB，$

$\because \odot O与AB相切于点B，$

$\therefore OB\bot AB，$

$\because 四边形OABC是平行四边形，$

$\therefore AB//OC，OA// BC，$

$\therefore OB\bot OC，$

$\therefore \angle BOC={90}^{\circ }，$

$\because OB=OC，$

$\therefore \triangle OCB为等腰直角三角形，$

$\therefore \angle C=\angle OBC={45}^{\circ }，\because AO//BC， $

$\therefore \angle AOB=\angle OBC={45}^{\circ }，$

$\therefore \angle E=\dfrac{1}{2}\angle AOB=22.{5}^{\circ }. $

$(2)连接OC，如图，$

$∵CE为⊙O的切线，$

$∴OC⊥CE，$

$∴∠OCE=90°，$

$∵AB为直径，$

$∴∠ACB=90°，$

$∵∠OCA+∠OCB=90°，$

$∠OCB+∠BCE=90°，$

$∴∠OCA=∠BCE，$

$∵OA=OC，CA=CE，$

$∴∠OCA=∠A，∠A=∠E，$

$∴∠BCE=∠E，$

$∵∠ABC=∠BCE+∠E，$

$即2∠ABD=2∠E，$

$∴∠ABD=∠E，∴BD//CE．$

$解：(1)△CBD为等腰三角形$

$因为OC⊥OA$

$所以∠AOC=90°$

$所以∠A+∠ADO=90°$

$因为BC切圆O于点B$

$所以∠OBC=90°$

$所以∠OBA+∠CBD=90°$

$因为OA=OB$

$所以∠A=∠OBA$

$所以∠ADO=∠CBD$

$因为∠ADO=∠CDB$

$所以∠CBD=∠CDB$

$所以△CBD是等腰三角形.$

$(2)因为CD=3OD，AD=8$

$所以设OD=x$

$则CD=3x，OC=4x$

$所以BC=3x$

$所以OB=\sqrt{OC²-BC²}=\sqrt{7}x$

$所以OA=\sqrt{7}x$

$因为AD²=AO²+DO²$

$所以x²+(\sqrt{7}x)²=8²$

$解得x=2\sqrt{2}或x=-\sqrt{2}(舍去)$

$所以AO=2\sqrt{2}×\sqrt{7}=\sqrt{14}$

$(2)连接BD，过点O作OH⊥AD$

$所以AH=DH$

$因为OA=OB$

$所以OH是△ABD的中位线$

$所以OH=\frac {1}{2}BD$

$因为AB是圆O的直径$

$所以∠ADB=90°$

$因为FE=5，AF=AD=4$

$所以AE=3$

$因为∠CAE=∠CDB，∠CEA=∠BED$

$所以∠BED=∠CDB$

$所以BE=BD$

$设BE=BD=x$

$因为AD²+BD²=AB²$

$所以16+x²=(x+3)²$

$解得 x=\frac {7}{6}$

$所以BD=\frac {7}{6}$

$所以OH=\frac {1}{2}BD=\frac {7}{12}$

$所以点O到BD的距离为\frac {7}{12}$