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 ①②④
 1 
​$ \sqrt {5}$​
解：​$(1)$​小明的说法正确，理由如下：
∵​$y=-\frac {1}{4}(x-2m)²+3-4m$​
∴二次函数图象的顶点坐标为​$(2m$​，​$3-4m)$​
∴二次函数图象的顶点始终在直线
​$y=-2x+3$​上运​$ $​动，故小明的说法正确
​$(2)$​证明：∵点​$P(a-5$​，​$c)$​，​$Q(4m+3+a$​，​$c)$​
都在该二次函数的图象上
∴对称轴为直线​$x=\frac {a-5+4m+3+a}{2}$​
∴​$\frac {a-5+4m+3+a}{2}=2m$​
∴​$2a-2=0$​，∴​$a=1$​
∴​$P(-4$​，​$c)$​
∴​$c=-\frac {1}{4}(-4-2m)²+3-4m=-(m+4)²+15$​
∴​$c≤15$​
D
-1
4
解：​$(3)$​由题意可得抛物线经过
点​$D(h+\frac 12k$​，​$\frac {1}{2}k)$​
∴​$\frac 12k=a(h+\frac {1}{2}k-h)^2 +k$​
可得​$ak=-2$​
故​$a$​，​$k$​之间的数量关系为​$ak=-2$​
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