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解：​$(1)$​将点​$A(-1$​，​$0)$​，​$B(4$​，​$0)$​代入解析式
得​$\begin {cases}{a-b-4=0}\\{16a+4b-4=0}\end {cases}$​，解得​$\begin {cases}{a=1}\\{b=-3}\end {cases}$​
∴​$y=x²-3x-4$​
​$ (2)$​∵​$y=x²-3x-4=(x-\frac {3}{2})^2-\frac {25}{4}$​
∴顶点坐标为​$(\frac {3}{2}$​，​$-\frac {25}{4})$​
对称轴为直线​$x=\frac {3}{2}$​
∴抛物线​$L'$​的顶点坐标为​$(-\frac {3}{2}$​，​$\frac {25}{4})$​
∴抛物线​$L'$​的解析式为
​$-(x+\frac 32)^2+\frac {25}{4}=-x²-3x+4$​
∵点​$A'$​、​$B'$​与点​$A$​、​$B$​关于原点对称
∴​$A'(1$​，​$0)$​，​$B'(-4$​，​$0)$​
设​$M(\frac {3}{2}$​，​$m)$​，​$N(n$​，​$-n²-3n+4)$​
​$①$​当​$AA'$​为平行四边形的对角线时
​$n+\frac 32=0$​，解得​$n=-\frac {3}{2}$​
∴​$N(-\frac {3}{2}$​，​$\frac {25}{4})$​
​$ ②$​当​$AM$​为平行四边形的对角线时
​$-1+\frac {3}{2}=1+n$​，解得​$n=-\frac {1}{2}$​
则​$-n²-3n+4=-(-\frac {1}{2})^2-3×(-\frac {1}{2})+4=\frac {21}{4}$​
∴​$N(-\frac {1}{2}$​，​$\frac {21}{4})$​
​$③$​当​$AN$​为平行四边形的对角线时
​$-1+n=1+\frac 32$​，解得​$n=\frac {7}{2}$​
则​$-n²-3n+4=-(\frac {7}{2})^2 -3×\frac {7}{2}+4=-\frac {75}{4}$​
∴​$N( \frac {7}{2}$​，​$-\frac {75}{4})$​
 综上所述，点​$ N$​的坐标为​$(-\frac {3}{2}$​，​$\frac {25}{4})$​
或​$(-\frac {1}{2}$​，​$\frac {21}{4})$​或​$(\frac {7}{2}$​，​$-\frac {75}{4})$​
解：​$(1)$​∵​$D(4$​，​$3)$​在抛物线​$y=ax²-4ax-12a$​上
∴​$3=16a-16a-12a$​
解得​$a=-\frac {1}{4}$​
∴抛物线的解析式为​$y=-\frac 14x²+x+3$​
​$(2)$​当​$y=0$​时，​$0=-\frac 14x^2+x+3$​
解得​$x_{1}=-2$​，​$x_{2}=6$​
∴​$A(-2$​，​$0)$​，​$B(6$​，​$0)$​
设直线​$AD$​的解析式为​$y=kx+b(k≠0)$​
∵​$A(-2$​，​$0)$​，​$D(4$​，​$3)$​
∴​$\begin {cases}{-2k+b=0}\\{4k+b=3}\end {cases}$​，解得​$\begin {cases}{k=\frac {1}{2}}\\{b=1}\end {cases}$​
∴直线​$AD$​的解析式为​$y=\frac 12x+1$​
如图，过点​$P $​作​$PK//y$​轴交​$AD$​于点​$K$​

设​$P(m$​，​$-\frac {1}{4}m²+m+3)$​，则​$K(m$​，​$\frac {1}{2}m+1)$​
∵​$S_{△PAD}=\frac {1}{2} · (x_D-x_A) · PK=3PK$​
∴​$PK$​的值最大时，​$△PAD$​的面积最大
∵​$PK=-\frac {1}{4}m²+m+3-\frac {1}{2}m-1$​
​$=-\frac {1}{4}m²+m+2=-\frac {1}{4}(m-1)²+\frac {9}{4}$​
∵​$-\frac {1}{4}＜0$​
∴​$m=1$​时，​$PK$​的值最大，最大值为​$\frac {9}{4}$​
此时​$△PAD$​的面积为​$\frac {27}{4}$​，​$P(1$​，​$\frac {15}{4})$​
​$(3)$​过​$A$​作​$AT⊥AD$​，且​$AT=AD$​，则​$T(-5$​，​$6)$​
设​$DT$​交​$y$​轴于点​$Q$​，则​$∠ADQ=45°$​

∵​$D(4$​，​$3)$​
∴直线​$DT$​的解析式为​$y=-\frac 13x+\frac {13}{3}$​
∴​$Q(0$​，​$\frac {13}{3})$​
作点​$T$​关于​$AD$​的对称点​$T'(1$​，​$-6)$​
则直线​$DT'$​的解析式为​$y=3x-9$​
设直线​$DT'$​交​$y$​轴于点​$Q'$​
则​$∠ADQ'=45°$​
∴​$Q'(0$​，​$-9)$​
综上，满足条件的点​$Q $​的坐标为​$(0$​，​$\frac {13}{3})$​或​$(0$​，​$-9)$​
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