解：$(1)$∵抛物线与$x$轴交$A(1$，$0)$、$B(-5$，$0)$两点
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac {1-5}{2}=-2$
在$y=-3x+3$中，令$x=-2$，得$y=9$
∴抛物线的顶点坐标为$(-2$，$9)$
设抛物线的函数解析式为$y=a(x+2)²+9$
将$A(1$，$0)$代入得$0=9a+9$，解得$a=-1$
∴抛物线的函数解析式
为$y=-(x+2)²+9=-x²-4x+5$
$(2)①$在$y=-x²-4x+5$中
令$x=0$得$y=5$，∴$C(0$，$5)$
由$B(-5$，$0)$，$C(0$，$5)$得直线$BC$的解析式
为$y=x+5$
∴$E(m$，$-m²-4m+5)$，$F(m$，$m+5)$
∴$EF=-m²-4m+5-(m+5)=-\mathrm {m^2}-5m$
$=-(m+\frac {5}{2})^2+ \frac {25}{4}$
∵$-1＜0$
∴当$m=-\frac {5}{2}$时，$EF $取最大值$\frac {25}{4}$
∴$m $的值为$-\frac {5}{2}$，$EF $的最大值为$\frac {25}{4}$
②∵$E(m$，$-m²-4m+5)$，$F(m$，$m+5)$，$C(0$，$5)$
∴$EF²=(m²+5m)²$，$EC²=m²+(m²+4m)²$
$FC²=2m²$
若$EF=EC$，则$(m²+5m)²=m²+(m²+4m)²$
解得$m=0(E$与$C$重合，舍去$)$或$m=-4$
∴$E(-4$，$5)$
若$EF=FC$，则$(m²+5m)²=2m²$
解得$m=0($舍去$)$或$m= \sqrt {2}-5$
或$m=-\sqrt {2}-5($不合题意，舍去)
∴$E(\sqrt 2-5$，$-2+6\sqrt 2)$
若$EC=FC$，则$m²+(m²+4m)²=2m²$
解得$m=0($舍去$)$或$m=-3$或$m=-5($舍去)
∴$E(-3$，$8)$
综上所述，$E$的坐标为$(-4$，$5)$
或$(\sqrt 2-5$，$-2+6\sqrt 2)$或$(-3$，$8)$
