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解：​$(1)$​由点​$A$​的坐标知​$OA=2$​
∴​$OC=2OA=4$​
∴点​$C$​的坐标为​$(0$​，​$4)$​
​$ $​将点​$A(-2$​，​$0)$​，​$B(4$​，​$0)$​，​$C(0$​，​$4)$​的坐标
代入抛物线的表达式
得​$\begin {cases}{4a-2b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=4}\end {cases}$​，解得​$\begin {cases}{a=-\frac {1}{2}}\\{b=1}\\{c=4}\end {cases}$​
∴抛物线的表达式为​$y=-\frac 12x²+x+4$​
将点​$B(4$​，​$0)$​，​$C(0$​，​$4)$​的坐标代入
直线​$BC$​的表达式，
得​$\begin {cases}{4m+n=0}\\{n=4}\end {cases}$​，解得​$\begin {cases}{m=-1}\\{n=4}\end {cases}$​
∴直线​$BC$​的表达式为​$y=-x+4$​
​$(2)$​由点​$A$​、​$B$​关于抛物线的对称轴对称，
可知点​$F $​是直线​$BC$​与对称轴的交点时​$($​如图​$)$​
​$FA+ FC$​的值最小，最小值为​$BC$​的长
 易知，抛物线的对称轴为直线​$x=1$​，
对于​$y=-x+4$​，当​$x =1$​时，​$y=3$​
∴点​$F $​的坐标​$ $​为​$(1$​，​$3)$​
由点​$B$​、​$C$​的坐标知​$OB=OC=4$​
∴​$BC=\sqrt {2}BO=4\sqrt 2$​
∴​$FA+FC$​的最小值为​$4\sqrt 2$​

解：​$(1)$​∵抛物线​$y=ax²+x+m(a≠0)$​经过
点​$ B(0$​，​$-4)$​，点​$C(2$​，​$0)$​
∴​$\begin {cases}{m=-4}\\{4a+2+m=0}\end {cases}$​，解得​$\begin {cases}{a=\frac {1}{2}}\\{m=-4}\end {cases}$​
∴抛物线的解析式为​$y=\frac 12x^2+x-4$​
​$(2)$​存在
如图，设​$D(t$​，​$\frac 12t^2+t-4)$​，连接​$OD$​
令​$y=0$​，则​$\frac {1}{2}x²+x-4=0$​
解得​$x=-4$​或​$x= 2$​
∴​$A(-4$​，​$0)$​
∵​$B(0$​，​$-4)$​，∴​$OA=OB =4$​
∴​$S_{△ABD}=S_{△AOD}+ S_{△OBD}-S_{△AOB}$​
​$=\frac {1}{2}×4× (-\frac 12t^2-t+4)+\frac {1}{2}×4×(-t)-\frac {1}{2}×4×4$​
​$=-t²-4t $​
​$=-(t+2)²+4$​
∵​$-1＜0$​
∴​$t=-2$​时，​$△ABD$​的面积最大，
最大值为​$4$​，此时​$D$​的坐标为​$(-2$​，​$-4)$​
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