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解：​$(1)BE=DC$​，理由：
∵​$△ABD$​和​$△ACE$​都是等腰直角三角形
∴​$AB=AD$​，​$AE=AC$​
∵​$∠BAD=∠CAE=90°$​
∴​$∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC$​，
即​$∠DAC=∠BAE$​
∴将​$△DAC$​绕点​$A$​逆时针旋转​$90°$​，
能与​$△BAE$​完全重合
∴​$BE=DC$​
​$(2)∠AOD=∠AOE$​，理由：
过​$A$​作​$AM⊥DC$​于点​$M$​，​$AN⊥BE$​于点​$N$​
∵​$△ABE≌ △ADC$​
∴​$S_{△ABE} = S_{△ADC}$​
∴​$\frac {1}{2}DC · AM=\frac {1}{2}BE · AN$​
又​$DC=BE$​
∴​$AM=AN$​
∵​$AM⊥DC$​，​$AN⊥BE$​
∴​$∠AOD=∠AOE$​

解：​$(1)EF=BE+DF$​
​$(2)EF^2=BE^2+DF^2$​，理由：
把​$△AFD$​绕点​$A$​顺时针旋转​$90°$​
得到​$△AE'B$​，连接​$EE' $​
∴​$BE'=FD$​，​$AE'=AF$​，
​$∠D=∠ABE'$​，​$∠FAD=∠E'AB$​
∵​$AB=AD$​
∴​$∠ABD=∠ADB=45°$​
∴​$∠ABD+∠ABE'=90°$​，即​$∠E'BD=90°$​
∴​$E'B²+BE²=E'E²$​
又∵​$∠FAE=45°$​
∴​$∠BAE+∠FAD=45°$​
∴​$∠E'AB+∠BAE=45°$​，即​$∠E'AE=45°$​
在​$ △AEE' $​和​$ △AEF $​中
​$\begin {cases}{AE=AE}\\{∠E'AE=∠FAE}\\{AE'=AF}\end {cases}$​
∴​$△AEE'≌△AEF(\mathrm {SAS})$​
∴​$EE'=FE$​
∴​$EF²=BE²+DF²$​
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