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证明：​$(1)$​把​$△ABE$​绕​$B$​点顺时针旋转​$120°$​得到
​$△CBH$​，易知​$H$​，​$C$​，​$F $​三点在同一直线上
由旋转的性质得​$BH=BE$​，​$∠CBH=∠ABE$​
∵​$∠ABC=120°$​，​$∠MBN=60°$​
∴​$∠ABE+∠CBF=∠ABC-∠MBN=60°$​
∴​$∠CBH+∠CBF=60°$​，即​$∠HBF=60°$​
∴​$∠HBF=∠EBF=60°$​
在​$△HBF $​和​$△EBF $​中
​$\begin {cases}{BH=BE}\\{∠HBF=∠EBF}\\{BF=BF}\end {cases}$​
∴​$△HBF≌△EBF(\mathrm {SAS})$​
∴​$HF=EF$​
∵​$HF=CH+CF=AE+CF$​
∴​$AE+CF=EF$​
​$(2)$​不成立，​$EF=AE-CF$​
证明：​$(1)$​∵将​$△BOC$​绕点​$C$​顺时针
旋转​$60° $​得到​$△ADC$​
∴​$CO=CD$​，​$∠OCD=60°$​
∴​$△COD$​是等边三角形
​$(2)$​∵将​$△BOC$​绕点​$C$​顺时针旋转​$60°$​得到​$△ADC$​
∴​$△BOC≌△ADC$​
∴​$∠ADC=∠BOC=150°$​，​$AD=OB=4$​
又∵​$△COD$​是等边三角形
∴​$∠ODC=60°$​，​$OD=OC=3$​
∴​$∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°$​
∴​$OA=\sqrt {AD^2+OD^2}=5$​


解：​$(1)$​∵线段​$BO$​绕点​$B$​逆时针旋转​$60°$​
得到线段​$BO'$​
∴​$BO=BO'$​，​$∠O'BO=60°$​
∴​$△OBO'$​是等边三角形
∴​$OO'=OB=4$​
​$(2)$​连接​$O'A$​
∵​$△ABC$​是等边三角形
∴​$AB= CB$​，​$∠ABC=60°$​
∵​$∠OBO'=∠ABC=60°$​
∴​$∠O'BA=∠OBO'-∠ABO$​
​$=∠ABC-∠ABO=∠OBC$​
在​$△BO'A$​和​$△BOC$​中
​$BA=BC$​
​$∠O'BA=∠OBC$​
​$BO'=BO$​
∴​$△BO'A≌△BOC(\mathrm {SAS})$​
∴​$O'A=OC=5$​
∵​$AO²+O'O²=9+16=25=O'A²$​
∴​$△AOO'$​是直角三角形
∴​$∠AOB=∠AOO'+∠O'OB=150°$​
​$(3)$​过点​$B$​作​$AO$​的垂线，交​$AO$​的延长线于​$ H$​
∵​$∠AOB=150°$​，∴​$∠BOH=30°$​
∴​$BH=\frac {1}{2}BO=2$​
∴​$S_{△ABO}=\frac {1}{2}AO · BH=\frac {1}{2}×3×2=3$​
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