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解：​$(x+1)²-4x²=0$​
​$(x+1+2x)(x+1-2x)=0$​
​$(3x+1)(1-x)=0$​
​$x_{1}=-\frac {1}{3}$​，​$x_{2}=1$​
解：​$(1)$​∵关于​$x$​的一元二次方程有实数根
∴​$△=3²-4×1×(k-2)≥0$​
解得​$k≤\frac {17}{4}$​，即​$k$​的取值范围是​$k≤\frac {17}{4}$​
​$(3)$​∵方程​$x²+3x+k-2=0$​的两个实数根
分别为​$x_{1}$​，​$x_{2}$​
∴​$x_{1}+x_{2}=-3$​，​$x_{1}x_{2}=k-2$​
∵​$(x_{1}+1)(x_{2}+1)=-1$​
∴​$x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})+1=-1$​
∴​$k-2+(-3)+1=-1$​
解得​$k=3$​
​$ $​即​$k$​的值是​$3$​
(0，2)

解：​$(1)$​设每日销售量​$y(\mathrm {kg})$​与销售价格​$x($​元​$/\mathrm {kg})$​
之间满足的函数关系为​$y=kx+b$​，
∴​$\begin {cases}{8k+b=2200}\\{14k+b=1600}\end {cases}$​，解得​$\begin {cases}{k=-100}\\{b=3000}\end {cases}$​
∴​$y$​与​$x$​的函数解析式为​$y=-100x+3000$​
​$(2)$​设销售这种荔枝日获利为​$w$​元
​$w=(x-6-2)(-100x+3000)$​
​$=-100x²+3800x-24000$​
​$=-100(x-19)²+12100$​
∵​$a=-100<0$​，对称轴为直线​$x=19$​，
∴当​$x=19$​时，​$w$​有最大值，为​$12100$​
∴当销售单价定为​$19$​元时，销售这种荔枝
日获利最大，最大利润为​$12100$​元
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