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证明：​$(1)$​∵将​$AD$​绕点​$A$​逆时针旋转​$90°$​得到​$AE$​
∴​$AD=AE$​，​$∠DAE=90°$​
∵​$∠BAC=∠DAE=90°$​
∴​$∠BAD=∠CAE$​
在​$△BAD$​和​$△CAE$​中
​$\begin {cases}{BA=CA}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end {cases}$​
∴​$△BAD≌△CAE(\mathrm {SAS})$​
∴​$BD=CE$​
∴​$BC=CD+BD=CD+CE$​
​$(2)$​图​$②$​中，​$BC+CD=CE$​
图③中，​$CD=CE+BC$​
C(2，-3)
-1＜x＜5
解：​$(3)$​∵​$y=x²-4x+1=(x-2)²-3$​
∴抛物线向右平移​$4$​个单位长度后的解析式
为​$y=(x-6)²-3$​
∴点​$(3$​，​$m)$​在抛物线​$y=(x-6)²-3(x＜4)$​上
∴​$m=(3-6)²-3=6$​
​$(4)$​存在点​$Q$​，使得​$S_{△OPQ}=9$​
当点​$Q $​在抛物线​$y=(x-6)^2-3(x＜4)$​上时
设​$Q(t$​，​$t^2-12t+33)$​
∴​$S_{△OPQ}=\frac 12×2×(t^2-12t+33)=9$​
解得​$t=6+2\sqrt 3$​或​$t=6-2\sqrt 3$​
∵​$t＜4$​
∴​$t=6-2\sqrt 3$​
∴​$Q(6-2\sqrt 3$​，​$9)$​
当点​$Q $​在抛物线​$y=x^2-4x+1(x≥4)$​上时
设​$Q(m$​，​$\mathrm {m^2}-4m+1)$​
∴​$S_{△OPQ}=\frac 12×2(\mathrm {m^2}-4m+1)=9$​
解得​$m=2+2\sqrt 3$​或​$m=2-2\sqrt 3$​
∵​$m≥4$​
∴​$m=2+2\sqrt 3$​
∴​$Q(2+2\sqrt 3$​，​$9)$​
综上所述，满足条件的点​$Q $​的坐标为
​$(6-2\sqrt 3$​，​$9)$​或​$(2+2\sqrt 3$​，​$9)$​
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