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A
B
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证明：​$(1)$​连接​$BD$​
∵​$\widehat {AB}=\widehat {CD}$​
∴​$AB=CD$​，
​$\widehat {AB}+\widehat {BD}=\widehat {CD}+\widehat {BD}$​
∴​$\widehat {AD}=\widehat {BC}$​
∴​$AD=BC$​
在​$△ABD$​和​$△CDB$​中
​$\begin {cases}{AB=CD}\\{AD=CB}\\{BD=DB}\end {cases}$​
∴​$△ABD≌△CDB(\mathrm {SSS})$​
∴​$∠BAD=∠BCD$​
在​$△ABE$​与​$△CDE$​中
​$\begin {cases}{∠BAD=∠BCD}\\{∠AEB=∠CED}\\{AB=CD}\end {cases}$​
∴​$△ABE≌△CDE(\mathrm {AAS})$​
∴​$BE=DE$​
解：​$(2)$​过​$O$​作​$OF⊥AD$​于点​$F$​，​$OG⊥BC$​于点​$G$​
连接​$OA$​，​$OC$​
根据垂径定理得​$AF=FD$​，​$BG=CG$​
∵​$AD=BC$​，∴​$AF=CG$​
在​$Rt△AOF $​与​$Rt△COG $​中
​$\begin {cases}{OA=OC}\\{AF=CG}\end {cases}$​
∴​$Rt△AOF≌Rt△COG(\mathrm {HL})$​
∴​$OF=OG$​
∵​$AD⊥CB$​
∴四边形​$OFEG $​是正方形
∴​$OF=EF$​
设​$OF=EF=x$​
则​$AF=FD=x+1$​
∵​$OF²+AF²=OA²$​
∴​$x²+(x+1)²=5²$​
解得​$x_{1}=3$​，​$x_{2}=-4($​舍去​$)$​
∴​$AF=4$​
∴​$AE=7$​

D
​$\sqrt 2$​
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