第94页 - 5年中考3年模拟中考数学 - 05网零5网 0五网新知语文网

$\frac {10}{3}π$

$2+\sqrt {3}$

解：$(1)AD=BD$

$(2)$设主桥拱的半径为$R m$

由题意可知$AB=30m$，$CD=5m$

∴$BD=\frac {1}{2}AB=15m$，

$OD=OC-CD=(R-5)m$

∵$OC⊥AB$，∴$∠ODB=90°$

∴$OD²+BD²=OB²$

∴$(R-5)²+15²=R²$

解得$R=25$

答：这座石拱桥主桥拱的半径为$25m.$

证明：$(1)$∵$∠ACB=\frac {1}{2}∠AOB$，$∠BAC= \frac {1}{2}∠BOC$

$∠ACB=2∠BAC$

∴$∠AOB=2∠BOC$

解：$(2)$过点$O$作半径$OD⊥AB$于点$E$，连接$BD$

易知$AE=BE$

∵$∠AOB=2∠BOC$，$∠DOB=\frac {1}{2}∠AOB$

∴$∠DOB=∠BOC$

∴$BD=BC$

∵$AB=4$，$BC=\sqrt {5}$

∴$BE=2$，$DB=\sqrt {5}$

在$Rt△BDE$中，$∠DEB=90°$

∴$DE= \sqrt {BD^2-BE^2}=1$

在$Rt△BOE$中，$∠OEB=90°$

$OB²=(OB-1)²+2²$

解得$OB=\frac {5}{2}$

即$⊙O$的半径是$\frac {5}{2}$

解：$(1)AD$与$⊙O$相切，理由：连接$OA$

∵$AD//BC$，∴$∠D=∠DBC$

∵$AD=AB$，∴$∠D=∠ABD$

∴$∠DBC=∠ABD=\frac {1}{2}∠ABC=30°$

∴$∠BAD=180°-∠D-∠ABD=120°$

∵$OA=OB$

∴$∠BAO=∠ABD=30°$

∴$∠OAD=90°$

∴$OA⊥AD$

∵$OA$是圆的半径

∴$AD$与$⊙O$相切

$(2)$连接$OC$，过$O$作$OH⊥BC$于$H$

∵$OB= OC$

∴$∠OCB=∠OBC=30°$

∴$∠BOC=120°$

∵$Rt△OBH$中，$OB=6$，$∠OBH=30°$

∴$OH=\frac {1}{2}OB= 3$

∴$BH= \sqrt {6²-3²}=3\sqrt {3}$

∴$BC=2BH=6\sqrt 3$

∵$S_{扇形OBC} =\frac {120 · π×6^2}{360}=12π$，

$S_{△OBC}=\frac {1}{2}BC · OH=\frac {1}{2}×6\sqrt 3×3 =9\sqrt 3$

∴$S_{阴影}=12π-9\sqrt 3$