解：$ (1)DE⊥BC$，理由：
连接$OD$，$BD$
∵$AB $是$⊙O$的直径
∴$∠ADB=90°$
∴$BD⊥AC$
∵$AB= BC$
∴$AD=CD$
∵$OA=OB$
∴$OD//BC$
∵$DE$是$⊙O$的切线
∴$OD⊥DE$
∴$DE⊥BC$
$(2)$在$Rt△BCD$中，$∠DCB=30°$
∴$BC=2BD$，$BC²- BD²=CD²$
∴$(2BD)²-BD²=(2\sqrt 3)²$
∴$BD=2$
∴$AB=BC=2BD=4$
∴$OD=2$
在$Rt△DCE$中，$∠DCE= 30°$
∴$DE=\frac {1}{2}CD= \sqrt {3}$
在$Rt△DOE$中，$OE=\sqrt {OD²+DE²}=\sqrt {7}$
∴$b=-(AB+OE)= -(4+\sqrt {7})=-4-\sqrt {7}$
$(3)$过$D$作$DF⊥OB$于$F$
∵$AB=BC$
∴$∠A= ∠ACB=30°$
∴$∠DOB=2∠A=60°$
∵$OB=OD$
∴$△OBD$为等边三角形
∵$AB=4$
∴$BD=OD=OB=\frac {1}{2}AB=2$
∵$DF⊥OB$
∴$OF=\frac {1}{2}OB=1$
∴在$Rt△OFD$中，$DF= \sqrt {OD^2-OF^2}=\sqrt {3}$
∵$S_{△BOD}=\frac {1}{2}OB · DF=\frac {1}{2}×2×\sqrt {3}=\sqrt {3}$
$S_{△BCD}=\frac {1}{2}BD · CD=\frac {1}{2}×2×2\sqrt 3=2\sqrt 3$
$S_{扇形BOD}=\frac {60π×2^2}{360}=\frac {2}{3}π$
∴$S_{△BOD}+S_{△BCD}=S_{扇形BOD}=3\sqrt 3-\frac 23π$
∴线段$CD$、$BC$和$\widehat {BD}$所围成的图形的面积为$3\sqrt {3}-\frac 23π$
