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证明：​$(1)$​连接​$OC$​
∵​$AB$​是直径
∴​$∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°$​
∵​$OA=OC$​，​$∠BCD=∠A$​
∴​$∠OCA=∠A=∠BCD$​
∴​$∠BCD+∠OCB=∠OCD=90°$​
∴​$OC⊥CD$​
∵​$OC$​是​$⊙O$​的半径
∴直线​$CD$​是​$⊙O$​的切线
​$(2)$​∵​$∠ACD=120°$​，​$∠ACB=90°$​
∴​$∠A=∠BCD=120°-90°=30°$​
∴​$∠BOC=2∠A=60°$​
∴​$∠D=90°-∠BOC=90°-60°=30°$​
∴​$OD=2OC$​
在​$Rt△OCD$​中，​$OC²+CD²=OD²$​
即​$OC^2+(2\sqrt {3})²=4OC^2$​
解得​$OC=2($​舍负​$)$​
∴​$S_{阴影}=S_{△OCD}-S_{扇形BOC}$​
​$=\frac {1}{2}×2\sqrt 3×2-\frac {60×π×2^2}{360}$​
​$=2\sqrt 3-\frac {2π}{3}$​
解：​$(1)$​根据题意知较大矩形的宽为​$2x\ \mathrm {m}$​
长为​$ \frac {24-x-2x}{3}=(8-x)m$​
∴可列方程为​$(x+2x)×(8-x)=36$​
解得​$x=2$​或​$x=6$​
经检验，​$x=6$​时，
​$3x=18＞10$​，不符合题意，舍去
∴​$x=2$​
​$(2)$​设矩形养殖场的总面积是​$y\ \mathrm {m}$​
∵墙的长度为​$10m$​
∴​$0＜x≤\frac {10}{3}$​
根据题意，得​$y=(x+2x)×(8-x)$​
​$=-3x²+24x=-3(x-4)²+48$​
∵​$-3＜0$​
抛物线​$y=-3(x-4)²+48$​的对称轴为​$x=4$​
∴当​$x=\frac {10}{3}$​时，​$y$​取最大值，
最大值为​$-3×(\frac {10}{3}-4)^2+48=\frac {140}{3}$​
答：当​$x=\frac {10}{3}$​时，矩形养殖场的总面积最大，
最大值为​$\frac {140}{3}\mathrm {m^2}.$​
解：​$(1)$​∵抛物线的顶点横坐标为​$1$​
∴抛物线的对称轴为直线​$x=1$​
∵点​$A$​的坐标为​$(-1$​，​$0)$​
∴抛物线与​$x$​轴的另一交点坐标为​$(3$​，​$0)$​
将​$(-1$​，​$0)$​，​$(3$​，​$0)$​，​$(0$​，​$3)$​代入​$ y=ax²+bx+c $​
得​$\begin {cases}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end {cases}$​，解得​$\begin {cases}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end {cases}$​
∴抛物线的表达式为​$y=-x²+2x+3$​
​$(2)$​∵直线​$x=m $​与​$x$​轴交于点​$N$​，
在第一象限内与抛物线交于点​$M$​
∴点​$M$​的坐标为​$(m$​，​$-m²+2m+3)$​，
点​$N$​的坐标为​$(m$​，​$0)$​
∴​$MN=-m²+2m+3$​，​$AN=m+1$​
∴​$AN+MN=m+1+(-m²+2m+3)$​
​$=-m²+3m+4=-(m-\frac 32)^2+\frac {25}{4}$​
∵​$-1＜0$​，且​$0＜m＜3$​
∴当​$m=\frac {3}{2}$​时，​$AN+MN$​有最大值，最大值为​$\frac {25}{4}$​
​$(3)$​能构成平行四边形
∵​$y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4$​
∴抛物线向左平移​$1$​个单位长度后所得
抛物线的表达式为​$y=-x²+4$​
当​$x=\frac 32$​时，​$y=-x²+2x+3$​
​$=-(\frac {3}{2})^2+2×\frac {3}{2}+3=\frac {15}{4}$​
∴点​$M$​的坐标为​$(\frac {3}{2}$​，​$\frac {15}{4})$​
假设存在以​$A$​，​$P$​，​$Q$​，​$M$​为顶点的平行四边形，
设点​$P $​的坐标为​$(1$​，​$P)$​，点​$Q $​的坐标为​$(n$​，​$-n²+4)$​
​$ ①$​当​$AM$​为对角线时，对角线​$AM$​，​$PQ $​互相平分
∴​$\frac {-1+\frac 32}2=\frac {1+n}{2}$​，解得​$n=-\frac {1}{2}$​
∴点​$Q $​的坐标为​$(-\frac {1}{2}$​，​$ \frac {15}{4})$​
​$②$​当​$AP $​为对角线时，对角线​$AP$​，​$MQ $​互相平分
∴​$\frac {-1+1}{2}=\frac {\frac 32+n}{2}$​，解得​$n=-\frac {3}{2}$​
∴点​$Q $​的坐标为​$(-\frac {3}{2}$​，​$\frac {7}{4}) $​
​$③$​当​$AQ $​为对角线时，对角线​$AQ$​，​$PM$​互相平分
∴​$\frac {-1+n}{2}=\frac {1+\frac 32}{2}$​，解得​$n=\frac {7}{2}$​
∴点​$Q $​的坐标为​$(\frac {7}{2}$​，​$-\frac {33}{4}) $​
综上所述，存在以​$A$​，​$P$​，​$Q$​，​$M$​为顶点的
平行四边形，点​$Q $​的坐标为​$(-\frac {1}{2}$​，​$\frac {15}{4})$​
或​$(-\frac {3}{2}$​，​$\frac {7}{4})$​或​$(\frac {7}{2}$​，​$-\frac {33}{4})$​
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