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​$ \frac {3\sqrt {5}}{2}$​

证明：​$(1)$​∵​$△=[-(2m+1)]²-4(m²+m)$​
​$=4m²+4m+1-4m-4m=1>0$​
∴无论​$m $​取何值，方程都有两个不相等的实数根
解：​$(2)$​∵该方程的两个实数根为​$a$​，​$b$​
∴​$a+b=-\frac {-(2m+1)}1 =2m+1$​，
​$ab=\frac {\mathrm {m^2}+m}1=\mathrm {m^2}+m$​
∵​$(2a+b)(a+2b)=2a²+4ab+ab+2b²$​
​$=2(a²+2ab+b²)+ab=2(a+b)²+ab$​
∴​$2(a+b)²+ab=20$​
∴​$2(2m+1)²+m²+m=20$​
整理得​$m²+m-2=0$​
解得​$m_{1}=-2$​，​$m_{2}=1$​
∴​$m $​的值为​$-2$​或​$1$​

解：​$(1)$​如图，连接​$OE$​
∵​$∠ADE=40°$​
∴​$∠AOE =2∠ADE=80°$​
∴​$∠EOB=180°-∠AOE=100°$​
∵​$AB=4$​
∴​$⊙O$​的半径是​$2$​
∴​$\widehat {BE}$​的长​$=\frac {100π×2}{180}=\frac {10π}9$​
​$(2)$​证明：∵​$∠EAB=\frac {1}{2}∠EOB=50°$​
∴​$∠BAC=∠EAD-∠EAB=76°-50°=26°$​
∵​$∠C=64°$​
∴​$∠ABC=180°-(∠C+∠BAC)=90°$​
∴​$AB⊥BC$​
∵​$AB$​为​$⊙O$​的直径
∴​$CB$​为​$⊙O$​的切线
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