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解：​$(1)$​设​$3$​月份再生纸的产量为​$x$​吨
则​$4$​月份再生纸的产量为​$(2x-100)$​吨
依题意，得​$x+2x-100=800$​
解得​$x=300$​
∴​$2x-100=2×300-100=500$​
答：​$4$​月份再生纸的产量为​$500$​吨​$.$​
​$(2)1000(1+\frac {m}2\%)×500(1+m\%)=660000$​
整理，得​$m²+300m-6400=0$​
解得​$m_{1}=20$​，​$m_{2}=-320($​不合题意，舍去)
∴​$m $​的值为​$20$​
​$(3)$​设​$4$​至​$6$​月每吨再生纸利润的月平均
增长率为​$y$​，​$5$​月份再生纸的产量为​$a$​吨
​$1200(1+y)² · a(1+y)=(1+25\%)×1200 (1+y) · a$​
∴​$1200(1+y)²=1500$​
答：​$6$​月份每吨再生纸的利润是​$1500$​元​$.$​
解：​$(1)$​设抛物线的解析式为​$y=ax(x-10)$​
∵当​$t=2$​时，​$BC=4$​
∴点​$C$​的坐标为​$(2$​，​$-4)$​
将点​$C$​的坐标代入解析式得​$2a(2-10)=-4$​
解得​$a=\frac {1}{4}$​
∴抛物线的表达式为​$y=\frac 14x^2-\frac 52x$​
​$(2)$​由抛物线的对称性得​$AE=OB=t$​
∴​$AB=10-2t$​
当​$x=t $​时，点​$C$​的纵坐标为​$\frac 14t^2-\frac 52t$​
∴矩形​$ABCD$​的周长​$=2(AB+BC)$​
​$=2[(10-2t)+(-\frac {1}{4}t²+\frac 52t)]$​
​$=-\frac 12t^2+t+20$​
​$=-\frac {1}{2}(t-1)²+\frac {41}{2}$​
∵​$-\frac {1}{2}＜0$​，​$0＜t＜5$​
∴当​$t=1$​时，矩形​$ABCD$​的周长有最大值，
最大值为​$\frac {41}{2}$​
​$(3)$​连接​$AC$​，​$BD$​相交于点​$P$​，连接​$OC$​
取​$OC $​的中点​$Q$​，连接​$PQ$​
∵​$t=2$​
∴​$B(2$​，​$0)$​，​$A(8$​，​$0)$​
∵​$BC=4$​，∴​$C(2$​，​$-4)$​
∵直线​$GH$​平分矩形​$ABCD$​的面积
∴直线​$GH$​过点​$P$​
∵四边形​$ABCD$​是矩形
∴点​$P $​是​$AC$​的中点
∵​$Q $​为​$OC$​的中点
∴​$PQ=\frac {1}{2}OA$​
由平移的性质可知，四边形​$OCHG $​是平行四边形
∴​$PQ=CH$​
∵​$OA=8$​
∴​$CH=PQ=\frac {1}{2}OA=4$​
∴抛物线向右平移的距离是​$4$​个单位

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解：​$(2)PA=PE$​，理由：
过​$P $​作​$PM//AB$​交​$AC$​于​$M$​

∴​$∠MPC=∠ABC=45°$​
∴​$△PCM$​是等腰直角三角形
∴​$CP=CM$​，​$∠PMC=45°$​
∴​$CA-CM=CB-CP$​
即​$AM=BP$​，​$∠AMP=135°=∠PBE$​
∵​$∠APE=90°$​
∴​$∠EPB=90°-∠APC=∠PAC$​
∴​$△APM≌△PEB(\mathrm {ASA})$​
∴​$PA=PE$​
​$(3)$​当​$P $​在线段​$BC$​上时，过​$P $​作​$PM//AB$​交​$AC$​于​$M$​

由​$(2)$​可知​$△APM≌△PEB$​
∴​$BE=PM$​，​$BP=AM$​
∵​$AB=\sqrt {2}(AM+CM)$​
∴​$AB= \sqrt {2}BP+ \sqrt {2}CM$​
∵​$PM=\sqrt {2}CM$​
∴​$AB=\sqrt {2}BP+BE$​
当​$P $​在线段​$CB$​的延长线上时，
过​$P_{作}PN⊥PC$​交​$BE$​于​$N$​

∵​$∠ABD=90°$​，​$∠ABC=45°$​
∴​$∠PBN=180°-∠ABC-∠ABD=45°$​
∴​$△BPN$​是等腰直角三角形，​$∠ABP=135°$​
∴​$BP=NP$​，​$BN= \sqrt {2}\ \mathrm {BP}$​，​$∠PNB=45°$​
∴​$∠PNE=135°=∠ABP$​
∵​$∠APE=90°$​
∴​$∠EPN=90°-∠APN=∠APB$​
∴​$△EPN≌△APB(\mathrm {ASA})$​
∴​$EN=BA$​
∵​$BE=EN+BN$​
∴​$BE=BA \sqrt {2}BP$​
综上所述，当​$P $​在线段​$BC$​上时，​$AB= \sqrt {2}BP+BE$​；
当​$P $​在线段​$CB$​的延长线上时，​$BE=BA+\sqrt {2}BP$​
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