第150页 - 启东中学作业本八年级数学人教版

180°-α

$证明:(1)∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB$

$∵锐角△ABC的两条高BD,CE相交于点O,∴∠BEC=∠CDB=90°$

$∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°$

$∴180°-∠BEC-∠BCE=180°-∠CDB-∠CBD$

$∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形$

$(2)（更多请点击查看作业精灵详解）$

（更多请点击查看作业精灵详解）

$解:点O在∠BAC的平分线上,理由:$

$连接AO$

$在△AOB和△AOC中$

$\begin{cases}{ AB=AC }\ \\ { OB=OC } \\{ OA=OA} \end{cases}\ $

$∴△AOB≌△AOC(SSS),∴∠BAO=∠CAO$

$∴点O在∠BAC的平分线上 $

$解:作DE⊥OB，交OB的延长线于点E\ $

$∵OD平分∠BOC,DF⊥OC$

$点D在BC的垂直平分线上$

$∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°,DB=DC$

$在Rt△DEB和Rt△DFC中$

$\begin{cases}{ DB=DC }\ \\ { DE=DF } \end{cases}$

$∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)$

$∴∠BDE=∠CDF$

$∴∠BDE+∠BDF=∠CDF+∠BDF$

$即∠EDF=∠BDC\ $

$∵∠OED=∠OFD=90°,∠BOC=60°$

$∴∠EDF=120°,∴∠BDC=120° $

$解:由(1)可知,△DEB≌△DFC,则BE=CF\ $

$∵OB+OC=OB+OF+FC$

$∴OB+OC=OB+OF+EB=(OB+EB)+OF=OE+OF\ $

$在Rt△DEO和Rt△DFO中$

${{\begin{cases} {{DO=DO}} \\ {DE=DF} \end{cases}}}$

$∴Rt△DEO≌Rt△DFO(HL)$

$∴OE=OF,∴OB+OC=2OF $

$解:结论:△ABC是直角三角形,理由:$

$∵△ABC为“唯美三角形”,BD为AC边的“唯美线”$

$∴DB=DC=DA, ∴∠DBC=∠C,∠DBA=∠A\ $

$∵∠A+∠ABC+∠C=180°\ $

$∴2∠ABD+2∠DBC=180°, ∴∠ABD+∠DBC=90°\ $

$∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形 $

$解:①过点A作AH⊥EC交EC的延长线于点H$

$AT⊥BE于点T，如答图①$

$∵△ABC和△EBC均为“唯美三角形”$

$且AD和ED分别为这两个三角形BC边的“唯美线”$

$∴DA=DB=DC=DE,△ABC,△BEC都是直角三角形$

$∴∠BAC=∠BEC=90°\ $

$∵AH⊥EH,AT⊥BE,∴∠ATE=∠H=∠TEH=90°$

$∴四边形ATEH是矩形,∴∠TAH=∠BAC=90°\ $

$∴∠BAT=∠CAH$

$在△ATB和△AHC中$

${{\begin{cases} {{∠ATB=∠AHC}} \\ {∠BAT=∠CAH} \\ {AB=AC} \end{cases}}} $

$∴△ATB≌△AHC(AAS)\ $

$∴AT=AH\ $

$∵AH⊥EH,AT⊥BE,∴EA平分∠BEC\ $

$∴∠AEB=\frac{1}{2}∠BEC=45°$

$②当点E在BC的下方时，如答图①$

$∵四边形ATEH是矩形，AT=AH$

$∴四边形ATEH是正方形，∴ET=EH\ $

$∵△ATB≌△AHC,∴BT=CH\ $

$∴EB+EC=ET+BT+EH-CH=2ET=12,\ $

$∴ET=6,∴AT=6,即点A到BE的距离为6$

$当点E在BC的上方时，如答图②$

$过点A作AH⊥EC 交EC的反向延长线于点H,$

$AT⊥BE于点T$

$同理可证△ABT≌△ACH,四边形ATEH是正方形$

$∴BT=CH,AT=ET=AH=EH$

$∴BE-CE=BT+TE-(CH-EH)$

$=2AT=9-3=6$

$∴AT=3,即点A到BE的距离为3\ $

$综上所述，点A到BE的距离为6或3 $