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​$ 证明：(1)在△ABC和△CDA中$​
​$ \begin{cases}AB=CD\\BC=AD\\AC=CA\end{cases}$​
​$ ∴△ABC≌△CDA(\mathrm {SSS})$​
​$∴∠BAC=∠DCA$​
​$ ∴AB//CD$​
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​$证明： (1 )连接BC$​
​$在△ABC和△DCB中$​
​$\begin{cases}AB=DC\\AC=DB\\BC=CB\end{cases}$​
​$∴△ABC≌△DCB ( SSS )$​
​$∴∠A=∠D$​
​$(2)由(1)得： △ABC≌△DCB$​
​$∴∠DBC=∠ACB$​
​$∴OB=OC $​
​$∴AC-OC=BD-OD，即AO=OD$​

​$ 解：C、D、E在同一条直线上，理由如下：$​
​$ 连接CD，ED，如图所示$​
​$ 在△ADC和△BDC中$​
​$ \begin{cases}AC= BC\\AD = BD\\CD = CD\end{cases}$​
​$ ∴△ADC≌△BDC (\mathrm {SSS})∴∠ADC=∠BDC$​
​$ 在△ADE和△BDE中$​
​$ \begin{cases}AD=BD\\AE= BE\\ED = ED\end{cases}$​
​$ ∴△ADE≌△BDE (\mathrm {SSS})，∴∠ADE=∠BDE$​
​$ ∵∠ADC+∠BDC+∠ADE+∠BDE=360°$​
​$ ∴2∠ADC+2∠ADE=360°$​
​$ ∴∠ADC+∠ADE = 180°$​
​$ ∴点C，D，E在一条直线上$​

$证明：(2)∵△ABC≌△CDA$
$∴∠BCA=∠DAC$
$在△ADE和△CBF 中$
$\begin{cases}AD=BC\\∠DAC=∠BCA\\AE=CF\end{cases}$
$∴△ADE≌△CBF(\mathrm {SAS})$
$∴BF=DE $
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