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​$证明：(1)∵BD平分∠ABC$​
​$∴∠ABD=∠DBC$​
​$∵DE//BC$​
​$∴∠EDB=∠DBC$​
​$∴∠ABD=∠EDB$​
​$∴BE=DE$​
​$(2)∵∠A=80°，∠C=40°$​
​$∴∠ABC=180°-∠A-∠C=60°$​
​$∴ ∠BDE=∠ABD=\frac 12∠ABC=30°$​
​$证明： ( 1)在Rt△ABC中$​
​$∵∠ABC=90°，M是AC的中点∴ BM=\frac 12AC$​
​$又∵∠ADC=90°，M是AC的中点$​
​$∴ DM=\frac 12AC∴DM= BM$​
​$( 2 ) ∵N是BD的中点∴BN= DN$​
​$在△ BMN与△DMN中$​
​$\begin{cases}BM=DM\\MN=MN\\BN=DN\end{cases}$​
​$∴△ BMN≌△DMN ( SSS )$​
​$∴∠BNM=∠DNM$​
​$又∵∠BNM+∠DNM= 180° $​
​$∴∠BNM=∠DNM=90°，即MN⊥BD$​
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