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证明：∵​$AD//BC$​
∴​$∠ADB=∠CBD$​
∵​$BD$​平分​$∠ABC$​
∴​$∠ABD=∠CBD$​
∴​$∠ABD=∠ADB$​
∴​$AB=AD$​
证明：∵​$△ A B C$​是等边三角形
∴​$∠A=∠B=60°$​
∵点​$D$​、​$E$​分别在​$ A B $​、​$ A C$​边上，且​$DE//BC$​
∴​$∠ADE=∠B=60°$​
∴​$∠AED=60°$​
∴​$∠A=∠ADE=∠AED=60°$​
∴​$△ADE$​是等边三角形
证明： ∵​$AB / / DE$​
∴​$∠B=∠D E C$​
∵​$E C=C D$​
∴​$∠D E C=∠E D C$​
又​$∠B=∠C$​
∴​$∠DEC=∠EDC=∠C$​
∴​$△DEC$​为等边三角形
解：​$BC=\frac 12AB$​
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