第25页 - 启东中学作业本八年级数学江苏版宿迁专版

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$(1)解：∵AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB$

$∴∠ECA+∠DAC=\frac{1}{2}∠ACB+\frac{1}{2}∠BAC$

$=\frac{1}{2}(∠ACB+∠BAC)=\frac{1}{2}(180°-∠B)=60°$

$\ ∴∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°$

$(2)$（更多请点击查看作业精灵详解）

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$5.证明:$

$如图，在AB上截取AF=AD，连接EF\ $

$∵AE平分∠PAB$

$∴∠DAE=∠FAE$

$在△DAE和△FAE中$

${{\begin{cases}{{AD=AF}}\\{∠DAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{cases}}}$

$∴△DAE△FAE(SAS)$

$∴∠ADE=∠AFE\ $

$∵AD//BC$

$∴∠ADE+∠C=180°\ $

$∵∠AFE+∠EFB=180°$

$∴∠EFB=∠C$

$∵BE平分∠ABC$

$∴∠EBF=∠EBC$

$在△BEF和△BEC中$

${{\begin{cases}{{∠EFB=∠C}}\\{∠EBF=∠EBC}\\{BE=BE}\end{cases}}}$

$∴△BEF≌△BEC(AAS)$

$∴BF=BC$

$又∵AD=AF$

$∴AD+BC=AF+BF=AB $

$6.(2)证明:如图，在AC上截取AF=AE$

$连接OF$

$∵AD平分∠BAC$

$∴∠EAO=∠FAO$

$在△AEO与△AFO中$

${{\begin{cases}{{AE=AF}}\\{∠EAO=∠FAO}\\{AO=AO}\end{cases}}}$

$∴△AEO△AFO(SAS)$

$∴∠AOE=∠AOF$

$由(1)知∠AOC=120°\ $

$∴∠AOE=∠AOF=∠COD$

$=180°-120°=60°\ $

$∴∠COF=180°-60°-60°=60°$

$∵CE平分∠ACB $

$∴∠FCO=∠DCO$

$在△FOC与△DOC中$

${{\begin{cases}{{∠COF=∠COD}}\\{CO=CO}\\{∠FCO=∠DCO}\end{cases}}}$

$∴△FOC≌DOC(ASA)$

$∴DC=FC$

$∵AC=AF+FC$

$∴AC=AE+CD$

$7.证明:过点E作EF⊥AD于点F$

$∵DE平分∠ADC$

$∴∠CDE=∠FDE$

$∵∠C=90°,EF⊥AD$

$∴∠C=∠DFE$

$在△CDE与△FDE中$

${{\begin{cases}{{∠CDE=∠FDE}}\\{∠C=∠DFE}\\{DE=DE}\end{cases}}}$

$∴△CDE≌△FDE(AAS)$

$∴EC=EF$

$∵EB=EC$

$∴EF=BE$

$在Rt△AFE与Rt△ABE中$

$\begin{cases}{EF=EB}\\{AE=AE}\end{cases}$

$∴Rt△AFE≌Rt△ABE(HL)$

$∴∠FAE=∠BAE$

$∴AE是∠DAB平分线$

$8.解:如图，过点E作EN⊥BM，垂足为N\ $

$∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°$

$∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°$

$∴∠BAO=∠EBN$

$∵△OBF,△ABE均为等腰直角三角形\ $

$∴AB=BE,BF=OB$

$在△AOB和△BNE中$

${{\begin{cases}{{∠BAO=∠NBE}}\\{∠AOB=∠BNE}\\{AB=BE}\end{cases}}}$

$∴△AOB≌△BNE(AAS)$

$∴BO=NE,BN=AO\ $

$∵BF=OB$

$∴BF=NE$

$在△BPF和△NPE中$

${{\begin{cases}{{∠FBP=∠ENP}}\\{∠FPB=∠EPN}\\{BF=NE}\end{cases}}}$

$∴△BPF≌△NPE(AAS)$

$∴BP=NP=\frac{1}{2}BN$

$∵BN=AO$

$∴BP=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}×7=\frac{7}{2}$