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第24页

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$证明：连接BD$

$在△ABD与△CDB中$

${{\begin{cases}{{AD=CB}}\\{AB=CD}\\{DB=BD}\end{cases}}}$

$∴△ABD≌△CDB(SSS)$

$∴∠A=∠C$

$在△AOD与△COB中 $

${{\begin{cases}{{∠AOD=∠COB}}\\{∠A=∠C}\\{AD=CB}\end{cases}}}$

$∴△AOD≌△COB(AAS) $

$∴OB=OD$

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$证明：延长AD至点E，使DE=AD$

$连接CE\ $

$∵AD为BC边上的中线$

$∴BD=CD$

$在△ABD和△ECD中$

${{\begin{cases}{{AD=ED}}\\{∠ADB=∠EDC}\\{BD=CD}\end{cases}}}$

$∴△ABD≌△ECD(SAS)$

$∴AB=EC$

$在△ACE中$

$∵AC+EC\gt AE=2AD$

$∴AB+AC\gt 2AD$

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$2.证明:连接AC,AD\ $

$在△ABC和△AED中$

${{\begin{cases}{{AB=AE}}\\{∠B=∠E}\\{BC=ED}\end{cases}}}$

$∴△ABC≌△AED(SAS)\ $

$∴AC=AD,∠BAC=∠EAD$

$∵AF平分∠BAE$

$∴∠BAF=∠EAF$

$∴∠BAF-∠BAC=∠EAF-∠EAD\ $

$∴∠FAC=∠FAD$

$在△ACF和△ADF中$

${{\begin{cases}{{AC=AD}}\\{∠FAC=∠FAD}\\{AF=AF}\end{cases}}}$

$∴△ACF≌△ADF(SAS)$

$∴∠AFC=∠AFD$

$∵∠AFC+∠AFD=180°$

$∴∠AFC=90°$

$即AF⊥CD\ $

$4.证明:延长CE至点F，使EF=CE,$

$连接BF，过点A作AG⊥BC于点G$

$则∠AGB=∠AGC=90°$

$∵CE,CB分别是△ABC与△ADC的中线\ $

$∴AE=BE,AB=DB$

$在△ACE与△BFE中$

${{\begin{cases}{{CE=FE}}\\{∠AEC=∠BEF}\\{AE=BE}\end{cases}}}$

$∴△ACE≌△BFE(SAS)$

$∴BF=AC,∠F=∠ACE$

$∴AC//BF$

$∴∠ACB+∠FBC=180°$

$又∵∠ABC+∠DBC=180°$

$∠ACB=∠ABC$

$∴∠CBF=∠CBD$

$在△AGC与△AGB中$

${{\begin{cases}{{∠ACG=∠ABG}}\\{∠AGC=∠AGB}\\{AG=AG}\end{cases}}}$

$∴△AGC≌△AGB(AAS)$

$∴AB=AC$

$∴BD=BF$

$在△CBF与△CBD中$

${{\begin{cases}{{CB=CB}}\\{∠CBF=∠CBD}\\{BF=BD}\end{cases}}}$

$∴△CBF≌△CBD(SAS)$

$∴CD=CF$

$∵CF=2CE$

$∴CD=2CE $