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$(1)证明：∵AB=AC=3,∠B=50°$

$∴∠C=∠B=50°$

$∴∠DEC+∠EDC=130°$

$又∵∠ADE=50°$

$∴∠ADB+∠EDC=130°$

$∴∠ADB=∠DEC$

$在△ABD和△DCE中$

${{\begin{cases} {∠ADB=∠DEC}\\{∠B=∠C}\\{AB=DC}\end{cases}}}$

$∴△ABD≌△DCE(AAS)$

$(2)当∠BDA的度数为100°或$

$115°时，△ADE是等腰三角$

$形$

$解：如图所示$

$解：如图①$

$∵AB=BD=CD,∠A=80°$

$∴∠ADB=∠A=80°,∠DBC=∠C$

$∵∠ADB=∠DBC+∠C$

$∴∠C=\frac{1}{2}∠ADB=40°$

$如图②$

$∵AB=AD,CD=BD,∠A=80°$

$∴∠ADB=∠ABD=\frac{1}{2}(180°-∠A)$

$=50°，∠DBC=∠C$

$∵∠ADB=∠DBC+∠C$

$∴∠C=\frac{1}{2}∠ADB=25°$

$如图③$

$∵AD=BD=CD$

$∴∠A=∠DBA=80°$

$∠C=∠DBC$

$∴∠C=\frac{180°-2×80°}{2}=10°$

$综上所述，∠C的度数为40°或25°$

$或10°$