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$4.55$
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$解：(1)如图，直线MN为AB的垂$
$直平分线$
$(2)连接BD$
$由(1)知BD=AD\ $
$∵在△BCD中，BD为斜边$
$∴BD\gt CD$
$∴AD\gt CD$
$∵AB的垂直平分线将AC分成3:5$
$两部分，AC=16$
$∴AD=BD=10,CD=6$
$在Rt△BCD中$
$BC^{2}=BD^{2}-CD^{2}=10^{2}-6^{2}$
$=64$
$∴BC=8$

$解：设秋千绳索OB的长度为x尺， 则OA=OB=x尺$
$∵AE=EC-AC=4(尺)$
$∴OE=(x-4)尺$
$在Rt△OBE中，由勾股定理，得(x-4)^{2}+10^{2}=x^{2}$
$解得x=14.5$
$答：秋千绳索OB的长度为14.5尺。$
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