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第142页

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$证明:设AC,BD相交于点O$

$∵∠1=∠2$

$∴OA=OB$

$在△AOD和△BOC中$

${{\begin{cases} {∠3=∠4}\\{OA=OB}\\{∠AOD=∠BOC}\end{cases}}}$

$∴△AOD≌△BOC(ASA) $

$∴OC=OD$

$∴OA+OC=OB+OD$

$即AC=BD$

$证明：如答图，在AB上取一点E，$

$使AE=AC，连接EP$

$∵AD为∠BAC的平分线$

$∴∠1=∠2$

$在△APC和△APE中$

${{\begin{cases}{{AC=AE}}\\{∠2=∠1}\\{AP=AP}\end{cases}}}$

$∴△APC≌△APE(SAS)$

$∴PC=PE$

$在△BPE中,PB-PE\lt BE$

$而BE=AB-AE=AB-AC$

$∴AB-AC\gt PB-PC$

$(1)证明：在AB边上取一点F，使$

$BF=BC,连接EF$

$∵AB=BF+AF,AB=BC+AD$

$且BF=BC$

$∴AF=AD$

$∵BE平分∠CBA,AE平分∠BAD$

$∴∠CBE=∠ABE,∠BAE=∠DAE$

$在△BCE和△BFE中$

${{\begin{cases}{{BC=BF}}\\{∠CBE=∠FBE}\\{BE=BE}\end{cases}}} $

$∴△BCE≌△BFE(SAS)$

$∴CE=FE$

$同理可得△AEF≌△AED$

$∴DE=FE$

$∴CE=DE$

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$23.(2)证明：∵△BCE≌△BFE$

$∴∠C=∠BFE\ $

$∵△AEF≌△AED$

$∴∠D=∠AFE\ $

$∵∠BFE+∠AFE=180°$

$∴∠C+∠D=180°$

$∴BC//AD$

$24.证明:延长ED到点G，使DG=ED,连接FG,BG，如图\ $

$∵△ACE与△BCF都为等腰直角三角形$

$∴∠ACE=∠CAE=∠BCF=∠CBF=45°\ $

$AE=CE,BF=CF$

$∵D是AB的中点$

$∴AD=DB$

$∵在△ADE和△BDG中$

${{\begin{cases}{{AD=BD}}\\{∠ADE=∠BDG}\\{DE=DG}\end{cases}}}$

$∴△ADE≌△BDG(SAS) $

$∴∠DBG=∠CAE=45°$

$AE=BG$

$∴BG=EC\ $

$∵∠ACE=∠BCF=45°$

$∠DBG=∠DBF=45°$

$∴∠ECF=∠GBF=90° $

$∵在△CEF和△BGF中$

${{\begin{cases}{{CF=BF}}\\{∠ECF=∠GBF}\\{EC=BG}\end{cases}}}$

$∴△CEF≌△BGF(SAS)$

$∴EF=GF$

$∵在△EFD与△GFD中$

${{\begin{cases}{{EF=GF}}\\{ED=DG}\\{DF=DF}\end{cases}}}$

$∴△EFD≌△GFD(SSS)$

$∴∠FDE=∠FDG$

$又∵∠FDE+∠FDG=180°$

$∴∠FDE=90°$

$∴DE⊥DF$