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$ 解:∵在Rt△ABC中,AC^{2}=AB^{2}-BC^{2}=13^{2}-5^{2}=144$

$∴AC=12$

$ ∵∠C=90°,∠BDC=45°,BC=5$

$ ∴CD=BC=5$

$∴AD=AC-CD=12-5=7，故AD的长为7$

$15-x$

$(2)解:在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC^{2}+CD^{2}=AD^{2}$

$ ∴10^{2}+(x+5)^{2}=(15-x)^{2}，解得x=2.5$

$ ∴CD=CB+BD=5+2.5=7.5$

$ ∴这棵树高7.5米$

$解:∵AD是△ABC的中线，BC=20$

$∴BD=\frac{1}{2}BC=10\ $

$又∵AD=24，AB=26$

$∴BD^{2}+AD^{2}=AB^{2}$

$∴AD⊥BC$

$∴AD垂直平分BC$

$∴AC=AB=26$

$解：(1)在Rt△ABC中，AB=25,AC=24,由勾股定理，得$

$BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}=25^{2}-24^{2}=49,解得BC=7$

$即这个梯子底端B离墙7m$

$(2)在Rt△DCE中,DE=25,DC=24-4=20，由勾股定理，得\ $

$CE^{2}=DE^{2}-DC^{2}=25^{2}-20^{2}=225，解得CE=15$

$∴BE=CE-BC=15-7=8$

$∴梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长为8m$