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第39页

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$3-\sqrt{5}$

是

$解:(2)F是线段BC的黄金分割点,理由:$

$∵四边形ABCD是矩形，$

$∴AB=CD=2,BC=AD=4.$

$∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=\sqrt{AB²+BC²}= \sqrt{2²+4²}=2\sqrt{5}.$

$由折叠，得AE=AB=2.$

$∴CE=AC-AE=2\sqrt{5}-2.$

$∴ CF=CE=2\sqrt{5}-2.$

$∴CF²=(2\sqrt{5}-2)²=24-8\sqrt{5},BF×BC=(BC-CF)×BC=(4-2\sqrt{5}+2)×4=24-8\sqrt{5}$

$∴CF²=BF.BC,即\frac{BF}{CF}=\frac{CF}{BC}$

$∴F是线段BC的黄金分割点$

$解:(1)∵AB=2BC，$

$∴设BC=x(x＞0)，则CD=x,AB=2x.\ $

$∴在Rt△ABC中，$

$由勾股定理，得AC=\sqrt{BC²+AB²}=\sqrt{x²+(2x)²}= \sqrt{5}x.\ $

$∴AE=AD=AC-CD=(\sqrt{5}-1)x.$

$∴\frac{AE}{AB}=\frac{(\sqrt{5}-1)x}{2x}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

$(2)如图，△ABC即为所求。$