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第5页

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$2024\sqrt{2}$

$解:(1)点C的坐标为(-2,4)$

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$解:设直线l的函数表达式为y=kx+b.$

$把点 A(4,0),B(0,4)分别代入 y =kx +b,\ $

$得\begin{cases}{4k+b=0,}\\{b=4}\end{cases}$

$解得k=-1,b=4$

$所以直线l的函数表达式为y=-x+4.$

$因为点 P 在直线l上，$

$所以可设点P的坐标为(m，4-m)(0＜m＜4)$

$过点P作PC⊥OA 于点C,则 PC=4-m，$

$因为OA=4，$

$所以S_{△AOP}=\frac{1}{2}×OA×PC=8-2m,\ $

$又S_{△AOP}=\frac{9}{2}，$

$所以8-2m=\frac{9}{2}，解得m=\frac{7}{4},$

$则4-m=\frac{9}{4},$

$所以 P(\frac{7}{4},\frac{9}{4}),$

$因为点P 在抛物线 y=ax上，$

$所以\frac{9}{4}=a × (\frac{7}{4})² ，$

$解得a=\frac{36}{49}$

$解:(2) 当 k=-\frac {1}{2} 时，直线 A B 的函数表达式$

$为 y=-\frac {1}{2} x+3.\ $

$联立方程组 \{\begin{array}{l}y=-\frac {1}{2} x+3 \\ y=\frac {1}{2} x^2\end{array}.$

$解得 \{\begin{array}{l}x=-3， \\ y=\frac {9}{2}\end{array}. 或 \{\begin{array}{l}x=2， \\ y=2，\end{array}.$

$所以 A(-3，\frac 92)，B(2，2)$

$设 P(m， \frac {1}{2}\ \mathrm {\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}})(-3＜m＜2)$

$过点 P 作 P D / / y 轴交直线 A B 于点 D，\ $

$则 D(m，-\frac {1}{2}\ \mathrm {m}+3)，\ $

$所以 P D=-\frac {1}{2}\ \mathrm {m}+3-\frac {1}{2}\ \mathrm {\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}}，\ $

$所以 S_{\triangle A B P}=\frac {1}{2}\ \mathrm {P}\ \mathrm {D}·(x_B-x_A)$

$=\frac {1}{2} \times(-\frac {1}{2}\ \mathrm {m}+3-\frac {1}{2}\ \mathrm {\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}}) \times[2-(-3)]$

$=-\frac {5}{4}\ \mathrm {\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}}-\frac {5}{4}\ \mathrm {m}+\frac {15}{2}.\ $

$又 S_{\triangle A B P}=5，\ $

$所以 -\frac {5}{4}\ \mathrm {\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}}-\frac {5}{4}\ \mathrm {m}+\frac {15}{2}=5，\ $

$解得 m_1=-2， m_2=1.\ $

$当 m=-2 时， \frac {1}{2}\ \mathrm {\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}}=2，所以 P(-2，2)；\ $

$当 m=1 时， \frac {1}{2}\ \mathrm {\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}}=\frac {1}{2}，\ $

$所以 P(1， \frac {1}{2}).\ $

$综上所述，点的坐标为 (-2，2) 或 (1， \frac {1}{2}).$