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$解：(2) 猜想： O P=P H. 证明如下：$

$因为点 P 在抛物线 y=-\frac {1}{4} x^2+1 上，$

$所以 P(m，-\frac {1}{4}\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}+1)，则 P Q=|-\frac {1}{4}\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}+1|， O Q=|m|.$

$因为 \angle O Q P=90^{\circ}，$

$所以 O P=\sqrt{P Q^2+O Q^2} =\sqrt{(-\frac {1}{4}\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}+1)^2+\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}}$

$=\sqrt{(\frac 14\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}+1)^2} =\frac 14\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}+1$

$又PH= 2-(-\frac 14\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}+1)=\frac 14\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}+1$

$所以OP=PH$

$(3) 由题意，得 Q H=2 且 O Q \perp P H.$

$因为 O P=O H，$

$所以 P Q=Q H=2， P H=2\ \mathrm {Q}\ \mathrm {H}=4.$

$因为 O P=P H，$

$所以 O P=4.$

$因为 \angle O Q P=90^{\circ}，$

$所以 O Q=\sqrt{O P^2-P Q^2}=2 \sqrt{3}.$

$由函数图像可知点 P 在第三象限或第四象限，$

$所以点 P 的横坐标为 -2 \sqrt{3} 或 2 \sqrt{3}，纵坐标为 -2，$

$所以点 P 的坐标为 (-2 \sqrt{3}，-2) 或 (2 \sqrt{3}，-2).$