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第55页

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菱形

$(1)证明：∵AD//BC，$

$∴∠DMO=∠BNO.$

$∵MN是对角线BD的垂直平分线，$

$∴ OD=OB，MN⊥BD.$

$在△MOD和△NOB中，$

${{\begin{cases} {{∠DMO=∠BNO，}} \\ {∠MOD=∠NOB，} \\ {OD=OB，} \end{cases}}}$

$∴△MOD≌△NOB.$

$∴OM=OD=OB，$

$∵OD=OB，$

$∴四边形BNDM是平行四边形.$

$∵MN⊥BD，$

$∴四边形BNDM是菱形$

$(2)解：∵四边形BNDM是菱形，BD=24，MN=10，$

$∴BM=BN=DM=DN，OB=\frac{1}{2}BD=12，OM=\frac{1}{2}\ \mathrm {MN}=5.$

$∵ MN⊥BD，$

$∴ ∠BOM=90°.$

$在Rt△BOM 中，由勾股定理，得\ $

$BM= \sqrt{OM^2+OB^2} =\sqrt{5^2+12^2}=13.$

$∴菱形BNDM的周长=4BM=4×13=52 $

$解：(1)四边形AGCH是菱形，理由：$

$∵四边形ABCD和四边形AFCE是矩形$

$∴∠B=∠F=90°，AD//BC，AF//CE$

$∴四边形AGCH是平行四边形$

$∵S_{▱AGCH}=GC·AB=AG·CF，AB=CF=4$

$∴GC=AG$

$∴四边形AGCH是菱形$

$(2)由(1)可知，GC=AG.$

$设GC=AG=x，则BG=8-x.$

$∵在矩形ABCD中，∠B=90°，AB=4，$

$∴在Rt△ABG中，$

$由勾股定理，得4^2+(8-x)^2=x^2，解得x=5.$

$∴GC=5.$

$∴S_{菱形AGCH}=GC·AB=5×4=20$