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$FG=BG$
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$证明:(1)∵四边形ABCD为正方形$
$∴ AD⊥CD$
$又∵ GE⊥CD$
$∴∠ADE=∠GEC=90°$
$∴AD//GE$
$∴∠DAG=∠EGH$
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$解:(2)AH⊥EF ，理由：$
$连接GC交EF 于点O$
$∵BD为正方形ABCD的对角线$
$∴易得∠ADG=∠CDG=45°$
$又∵易知DG= DG，AD=CD$
$∴△ADG≌△CDG$
$∴∠DAG=∠DCG$
$在正方形ABCD中，∠ECF=90°$
$又∵ GE⊥CD，GF⊥BC$
$∴∠ ECF=∠GEC= ∠GFC=90°$
$∴四边形FCEG为矩形$
$∴易得OE=OC$
$∴∠OEC=∠OCE$
$∴∠DAG=∠OEC$
$由(1)，得∠DAG=∠EGH$
$∴∠EGH=∠OEC$
$∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°$
$∴∠GHE=90°$
$∴AH⊥EF$
$解:(2)FG=BG\ $
$如图，连接FB.$
$∵四边形ABCD是平行四边形，$
$∴∠A+∠ABC=180°$
$∵E是AB的中点，$
$∴ AE=BE.\ $
$由折叠知,AE=EF,∠A=∠DFE,$
$∴EF=EB.$
$∴ ∠EFB=∠EBF.$
$又∵ ∠DFE+∠EFG=180°，$
$∴ ∠EBG=∠EFG.\ $
$∴ ∠EBF+∠FBG=∠EFB+∠BFG.$
$∴ ∠BFG=∠FBG.\ $
$∴ FG=BG$

$解:(3)∵ 四边形ABCD是矩形，AB=6，$
$∴ CD=AB=6,∠C=90°.$
$∴ DG=\sqrt{CD²+CG²}=\sqrt{6²+2²}=2 \sqrt{10}$
$设AD=x,由折叠知,DF=AD=BC=x$
$由(1),知FG=BG=x-2，$
$∴x+x-2=2\sqrt{10}$
$解得x= \sqrt{10}+1，$
$即AD的长为\sqrt{10}+1$
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