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第4页

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$证明:(1)∵ ∠AGE=∠DGC,∠AEG=∠AGE,∠DCG=∠DGC,$

$∴∠AEG=∠DCG.$

$∴AB//CD$

$(2)∵∠AGE=∠DGC,∠AGE+∠AHF=180°,$

$∴∠DGC+∠AHF=180°.$

$ ∴BF∥EC.$

$∴∠BFC+∠C=180°.$

$∵∠BFC−30°=2∠C.$

$ ∴∠BFC=2∠C+30°.$

$∴2∠C+30°+∠C=180°.$

$∴∠C=50°.$

$∴∠BFC=130°.$

$∵AB∥CD,$

$∴∠B+∠BFC=180°.$

$ ∴∠B=50°$

$解:(1)∵PM//AN,$

$∴∠A+∠APM=180°.$

$∵∠A=40°,$

$∴∠APM=140°.$

$∵PB,PD分别平分∠APC和∠CPM,$

$∴∠BPC=\frac{1}{2}∠APC,∠DPC=\frac{1}{2}∠CPM.\ $

$∴ ∠BPD=∠BPC+∠DPC=\frac{1}{2}(∠APC+∠CPM)=\frac{1}{2}∠APM=\frac{1}{2}×140°=70°$

$(2)∵ PM∥AN,\ $

$∴∠PBA=∠BPM.$

$∵∠PBA=∠APD,$

$∴∠BPM=∠APD.$

$∴易得∠APB=∠MPD.由(1),得∠APM=140°,∠BPD=70°,$

$∴ 易得∠APB=∠MPD=\frac{1}{2}×(140°−70°)=35°$

$(3)存在，∠PCA=2∠PDA 理由:$

$∵PM//AN,$

$∴∠PCA=∠CPM,∠PDA=∠DPM.$

$∵PD平分∠CPM,$

$∴∠CPM=2∠DPM.$

$ ∴∠PCA=2∠PDA.$