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$解:(1)∵\sqrt{a+4}+|b−2|=0,$
$∴易得a+4=0,b−2=0.$
$∴a=−4,b=2$
$(2)存在 设点C到x轴的距离为h.$
$∵a=−4,b=2,$
$∴AB=2−(−4)=6.$
$∴S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB.h=\frac{1}{2}×6h=12,$
$解得h=4.$
$∴点C的坐标为(0,4)或(0,−4)$
$(3)设当运动时间为t秒时，四边形ABPQ的面积S为15.$
$由题意，得点P的坐标为(0,3),PQ=t.$
$∴四边形ABPQ的面积S=\frac{1}{2}(6+t).3=15,解得t=4.$
$∴易得点Q的坐标为(−4,3).$
$∴当运动时间为4秒时，四边形ABPQ的面积S为15，此时点Q的坐标为(−4,3)$
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