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解：
(1)
(2) 四边形 $ABFE$ 是菱形，理由如下：
在平行四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$ 。
因为 $BF = AE$ ，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形 $ABFE$ 为平行四边形。
由
(1)可知 $BE$ 平分 $\angle ABC$ ，所以 $\angle ABE=\angle FBE$ 。
因为 $AD// BC$ ，所以 $\angle AEB=\angle FBE$ ，所以 $\angle ABE=\angle AEB$ ，所以 $AB = AE$ 。
一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形 $ABFE$ 为菱形。
解：
(1)
(2)由(1)可知，直线 $EF$ 是线段 $AC$ 的垂直平分线，所以 $EA = EC$ ，$FA = FC$ ，$OA = OC$ ，$\angle COE=\angle AOF = 90^{\circ}$ 。
因为四边形 $ABCD$ 是矩形，所以 $CD// AB$ ，所以 $\angle ECO=\angle FAO$ 。
在 $\triangle COE$ 和 $\triangle AOF$ 中，
$\begin{cases}\angle ECO=\angle FAO\\OC = OA\\\angle EOC=\angle FOA\end{cases}$ ，
所以 $\triangle COE\cong\triangle AOF(ASA)$ ，所以 $EC = FA$ 。
因为 $EA = EC = FA = FC$ ，四条边相等的四边形是菱形，所以四边形 $AFCE$ 是菱形。
$6 + 6\sqrt{5}$
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