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​$ (1)$​证明：
∵​$E，$​​$G_{分别是}AD，$​​$BD$​的中点，
∴​$EG $​是​$△DAB$​的中位线，
∴EG = $\frac{1}{2}$AB，EG∥AB，
同理，FH = $\frac{1}{2}$AB，FH∥AB，
∴​$EG = FH，$​​$EG∥FH，$​
∴四边形​$EGFH$​是平行四边形​$.$​
​$ (2)$​解：菱形. 证明：
∵​$F，$​​$G_{分别是}BC，$​​$BD$​的中点，
∴​$FG $​是​$△DCB$​的中位线，
∴FG = $\frac{1}{2}$CD，
又
∵EG = $\frac{1}{2}$AB，AB = CD，
∴​$EG = FG，$​
∴平行四边形​$EGFH$​是菱形​$.$​
(1)证明：如答图，连接AC，BD交于点O，AC交FG于点N，BD交HG于点M.

∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠HGF = 90°.
∵H，G分别是AD，DC的中点，
∴HG∥AC，HG = $\frac{1}{2}$AC，
∴∠HGF = ∠GNC，
∴∠GNC = 90°.
∵G，F分别是DC，BC的中点，
∴GF∥BD，GF = $\frac{1}{2}$BD，
∴∠GNC = ∠MOC = 90°，
∴BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形.
(2)解：
∵矩形EFGH的周长为22，
∴HG + FG = 11，
∴AC + BD = 22.
∵$\frac{1}{2}$AC·BD = 10，
∴AC·BD = 20.
∵(AC + BD)² = AC² + 2AC·BD + BD²，
∴AC² + BD² = 444，
∴$\frac{1}{4}$AC² + $\frac{1}{4}$BD² = 111，
∴AO² + BO² = 111，
∴AB² = AO² + BO² = 111，
∴AB = $\sqrt{111}.$
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